一 数学归纳法第二课时教案

§4.1数学归纳法

——人教版数学（选修4-5）第4讲第1节

学校：永州市第四中学

科目：数学

授课教师: 张泉

2018年06月

课题：数学归纳法

人民教育出版社全日制普通高级中学教科书数学(选修4-5)第四讲第一节

张泉

【教学目标】

1.知识与技能

1）使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质；

2）

掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题. 2.过程与方法

努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想. 3.情感、态度与价值观

通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生的学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力. 【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题. 【教学难点】

1)

不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设做出证明；

2)

运用数学归纳法时，在“归纳递推”步骤中发现具体问题的递推关系. 【教学方法】运用类比启发探究式教学方法. 【教学手段】借助生活实例辅助课堂教学. 第

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【教学过程】

一、

引入

1.

故事：

明朝刘元卿编写的《应谐录》中有一个笑话：财主为儿子请了一个私塾先生，这天先生划了一横告诉孩子这是“一”，先生划了两横告诉孩子说这事“二”，先生划了三横告诉孩子说这是“三”，这个时候，财主和他的儿子笑着说，原来认字就是这么简单，就把教书先生打发走了。

（设计意图：以故事引入课堂，吸引学生注意；并且让学生在听故事的过程中理解归纳法的含义）

2.

结论：

这则笑话中财主和他的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，我们就称之为归纳法。

归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法；顾名思义，不完全归纳法即考察部分对象得到一般结论的推理方法；像故事中财主和他的儿子得出结论的过程中用的就是不完全归纳法；由此，我们可以知道运用不完全归纳法可能很容易得到一般结论但是这个结论不一定可靠。相反的，完全归纳法是考察全体对象得到一般结论的推理方法，因此结论一定可靠。但是如果对所有情况进行逐一验证，就会特别繁琐，这种方法我们称之为枚举法；那么我们就要寻求一种既考察全体对象又不繁琐的方法，也就是我们今天要学习的内容——数学归纳法。

（设计意图：学生对归纳法具有初步认识，介绍不完全归纳法和完全归纳法的优缺点以及学习完全归纳法的必要性）

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二、

探究

1.

实验

首先我们来做几个实验，请同学们观察并得出要使所有书本一次性全都倒下的条件。

实验一：

将所有书本摆放整齐并使每一本书之间的距离都小于书本的高度。然后，我们将第一本书推倒，会发现所有书本都倒下。

师：这时，我们得出要使所有书本倒下的条件是：“第一本书倒下”，但是只需要满足这一个条件就可以了吗？还有没有其他条件呢？有没有同学对书本的摆放规则有疑惑呢？刚才我们将所有书本都放得很近，那么放远一点，还会出现这样的现象吗？那么接着我们再来做一个实验。

（设计意图：通过设计问题引导学生进行思考）

实验二：

同样将所有书本摆放整齐，但是这次我们不妨将其中一些书本之间的距离拉大一点，使得距离大于书本高度。此时，推到第一本书，我们会发现所有的书本并不会全都倒下。

师：那么我们刚才得到的结论是不是不完善？需要补充些什么呢？由第二个实验我们得出书本之间的距离要足够小，小到可以使前一本书倒下后一本书就随之倒下，这才是本质！由于前一本书的任意性，我们不妨用正整数k来表示，那么第二个条件用数学语言表示即：若第k本书倒下，则第k+1本书随之倒下。至此，要一次性使所有书本倒下还需要其他条件吗？

（设计意图：通过实验演示引导学生观察、思考，并通过一系列提问最终得出结论）

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实验结论：

要使所有书本一次性全都倒下的两个条件：①第一本书倒下；②若第k本书倒下，则第k+1本书倒下。

（至此，可能部分学生还会有疑惑，下面继续举生活实例进行类比思考以加深理解）

2.

类比

以在座的某一列同学为例：

问题一：如果知道第一个是女生，那么这一列所有同学都是女生吗？

生：不是，因为只知道第一个是女生

问题二：如果知道女生后面一定也是女生，那么这一列所有同学都是女生吗？

生：不是，因为不知道从第几个开始是女生

问题三：如果知道第一个是女生并且女生后面一定也是女生，那么这一列所有同学都是女生吗？

生：是

（设计意图：从学生身边的事情出发，整个思考过程形象而生动，进而类比思考）

3.

结论

其实，这个过程就体现了数学归纳法的思想，第一个条件是基础，第二个条件是确定一种递推关系，二者缺一不可。我们不妨将每一本书看成一个命题,书本倒下也就是命题得证，所以得出数学归纳法的三个重要步骤。

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三、

结论

1.

数学归纳法：

1)

验证nn0时，命题成立。（归纳奠基）

2)

若nk(kn0)时命题成立，证明nk1时命题也成立。（归纳递推）

则命题对从n0开始的所有正整数n都成立。

2.

注意：

1)

n0为初始值，初始值不一定是1；例：证明多边形内角和公式为(n2)180，最简单的多边形是三角形，所以n从3开始，即n03；

2)

数学归纳法中第一步是归纳奠基，简称奠基；第二步是归纳递推，简称递推；第三步综合演绎推理得出结论；

3)

数学归纳法用于与正整数相关的证明；

（设计意图：得出数学归纳法的内容即三个重要步骤）

四、

应用

例1. 用数学归纳法证明：123……nn(n1),nN*

2证：(1)当n1时，左边=1,右边=1，左边=右边，等式成立.

(2)假设当nk时，等式成立，即12……k则12……k+(k+1)k(k1)(k+1)2k(k1)＋2(k1)2(k1)(k2)2(k1)[(k1)1] 2即nk1时，等式成立.根据（1）（2）可知，等式对任意nN*都成立.k(k1)2

（设计意图：使学生初步了解到用数学归纳法证明与正整数有关命题）

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练习1. 用数学归纳法证明：122232……n2n(n1)(2n1)6,nN*

证：(1)当n1时，左边=1,右边=1，左边=右边，等式成立.

(2)假设当nk时，等式成立.即1222……k2则1222……k2+(k+1)2k(k1)(2k1)(k+1)26k(k1)(2k1)＋６(k+1)262(k1)(2k7k6)6(k1)(k2)(2k3)6(k1)[(k1)1][2(k1)1)]6即nk1时，等式成立.根据（1）（2）可知，等式对任意nN*都成立.k(k1)(2k1)6

（设计意图：使学生初步了解到用数学归纳法证明与正整数有关命题）

例2．已知数列

11447710,1,1,,1(3n2)(3n1),,计算

根据计算S1，S2，S3，S4，结果，猜想Sn

的表达式，并用数学归纳法进行证明. 1=；144112S2=+=；4477213S3=+=；771010314S4=+=.10101313可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，解：S1=分母可用项数n表示为3n1.于是可以猜想:3n1下面我们用数学归纳法证明这个猜想.(1)当n1时，左边=S1右边=猜想成立.14n,=114，Sn=n.13n1311

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(2)假设当nk(kN)时，猜想成立.即114114=+147147+171017101(3k1)(3k4)++1(3k2)(3k1)1(3k2)(3k1)k3k1,那么，+++++1[3(k1)2][3(k1)1]k3k1k(3k4)1(3k1)(3k4)3k24k1(3k1)(3k4)(3k1)(k1)(3k1)(3k4)k13k4k13(k1)1,

所以，当nk1时猜想也成立.根据（1）（2），可知猜想对任何nN*都成立.五、

总结

1.

数学归纳法：

1)

验证nn0时，命题成立。（归纳奠基）

2)

若nk(kn0)时命题成立，证明nk1时命题也成立。（归纳递推）

则命题对从n0开始的所有正整数n都成立。

2.

注意

数学归纳法中第一步是归纳奠基，确定初始值；第二步是归纳递推，找到递推关系，有了这种向后传递的关系，就能从一个起点不断发展，以至无穷，在证明递推关系的过程中，需要用到归纳假设；最后综合演绎推理得出结论。

六、

课后练习

教材50页练习1、2. 第

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【板书设计】

数学归纳法

一、

引入 二、探究 三、结论 四、应用

归纳法

不完全 完全

归纳法 归纳法

穷举法 ？

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