2.基本不等式教学设计方案

课题: §3.4基本不等式abab

（第1课时）

2 惠东高级中学 杨艳华

授课类型：新授课

【教材分析】

本节是新课标必修5第三章不等式中的内容,是高考的重点。

本节内容具有应用广泛性变通灵活性条件约束性等特点,同时本节知识还渗透了树形结合，化归等重要数学思想。因此学好本节内容有利于培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。根据班级学生的特点，同时结合新课标，我将本节分为两个课时进行教学，第一课时讲解基本不等式及其几何意义，运用基本不等式解决某些简单的数学问题。第二课时讲解基本不等式在解题中的熟练应用。

【教学目标】

1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；理解这个基本不等式的几何意义。

2．过程与方法：经历由几何图形抽象出基本不等式的过程；

体验数形结合思想。

3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣，了解不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力

【教学重点】

基本不等式的知识发展过程和证明；基本不等式的简单应用。

【教学难点】

理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵与不等式的简单应用. 【教学基本流程】

1.

用数学家大会会标设置情景，引入新课，得出重要不等式a2b22ab；

2. 由重要不等式变形出基本不等式，讨论基本不等式中参数的取值范围及取等号的条件；

3. 演示基本不等式的几何意义；

4. 通过课堂例题和习题掌握不等式的简单运用；

5.课堂小结；

6.作业。

【教学过程】

1

一、

设置情境

(投影出图3.4-1)同学们,这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗?

提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a、b，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？

生答：a2b2，a2b2

提问2：那4个直角三角形的面积和呢？

生答：2ab[来源:学科网]

提问3：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，a2b22ab。什么时候这两部分面积相等呢？

生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即ab时，正方形EFGH变成一个点，这时有a2b22ab

二

新知探究

探究一：基本不等式

（1）（板书）重要不等式：一般地，对于任意实数

a、b，我们有a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立。

提问4：你能给出它的证明吗？

(学生尝试证明后口答,老师板书) 证明: a2b22ab(ab)2,当ab时，(ab)20,当ab时,(ab)20,

所以 a2b22ab

注意强调 当且仅当ab时, a2b22ab

如果a0,b0,用a和b分别代替a、b,可得ab2ab,也可写成

abab(a0,b0),引导学生利用不等式的性质推导

2abab(a0,b0) ①

2

2 (板书,请学生回答应填的内容): 要证:

即证 ab ②

要证②,只要证 ab 0 ③[来源:学.科

要证③,只要证 ( - )2

0 ④

显然, ④是成立的,当且仅当ab时, ④的等号成立。

设计意图:让学生初步了解分析法的证明步骤，同时通过郑明明过程让学生记住公式的结构形式。

探究二：基本不等式①的几何意义

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式abab的几何解释吗？

2易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ab. 这个圆的半径为ababab，其中当且仅当点C，显然，它大于或等于CD，即22ab几何意义是“半径不小于半弦

2与圆心重合，即a＝b时，等号成立. 因此：基本不等式ab设计意图: 通过对基本不等式的几何意义的探究,培养学生数形结合的思想. 评述：1.如果把ab看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，2ab为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.2那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称本节定理还可叙述为（代数意义）：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 三．新知运用

例1．（1）已知x＞0，x取什么值时，x1的值最小？最小值是多少？

x设计意图：这道例题是对基本不等式最简单最直接的的应用，学生自己完成更有助于把我公式。

练习: 1.当x<0时,求函数y=x1的最值。

x设计意图：在例题的基础上再练习一题，更能加深学生对公式的把握和运用。

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例2.(1)已知x、y都是正数，设x、y满足x＋4y=1，求xy的最大值。

(2)已知x、y都是正数，求证：yx≥2 xy设计意图：这两题是对不等式变式ab2ab的应用，为后面问题的解决埋下伏笔。

练习：

1.利用已知x、y都是正数，设x、y满足x＋y=8，求xy的最大值。

2.已知a、b、c都是正数，求证:（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc

设计意图：加深学生对基本不等式变式的运用，培养学生的知识变通能力。

例3：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

设计意图：将基本不等式运用到应用问题中，一方面可以加深学生对知识点的理解，另一方面让学生感受到数学知识与日常生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

四.课时小结

本节课，我们学习了重要不等式a＋b≥2ab；两正数a、b的算术平均数（几何平均数（ab）及它们的关系（22ab），2ab≥ab）.它们成立的条件不同，前者只要2求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等ab2a2b2价变形来解决问题：ab≤，ab≤（）. 22五.作业

1.已知x、y都是正数满足xy=18,求x＋y的最小值。

2.已知x、y都是正数满足x+y=18，求xy的最大值

3.利用已知x、y都是正数，求证：（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3. 分析：在运用定理：abab时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性2质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形. 设计意图：课后作业能及时反馈学生掌握知识的情况，便于教师及时查缺补漏。

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