2.基本不等式名师教学设计2

基本不等式变形技巧的应用

本节教材的地位和作用

基本不等式在求解最值、值域等方面有着重要的应用，利用基本不等式时，关键在对已知条件的灵活变形，使问题出现积（或和）为定值，以便解决问题，现就常用技巧给以归纳。

教学目标

（1）知识目标:

用基本不等式解决最值问题；

（2）能力目标：培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力；

（3）情感目标：培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。

教学重点：

从不同角度探索基本不等式

教学难点：

基本不等式的内涵，用基本不等式求最值。

教学过程

一、基本不等式的基础知识

基本不等式：

如果a,b是正数，那么abab（当且仅当ab时取“=”）

2在基本不等式的应用中，我们需要注意以下三点：

“一正”：a、b是正数，这是利用基本不等式求最值的前提条件。

“二定”：当两正数的和b+a是定值时，积ab有最大值；当两正数的积ab是定值时，和b+a有最小值。

“三相等”：

b=是abab充要条件，所以多次使用基本不等式时，要注意2等号成立的条件是否一致。

二、

利用基本不等式求最值的四大策略

技巧一：加减常数

1(x1)的值域。

x110，

解：（1）当x>1时，有x10,x1例1、求函数yxyx111(x1)12(x1)13，

x1x1x11，即x＝2时，等号成立，此时y的最小值为3. x1110，

0，所以1x0,（2）当x<1时，x10,1xx1当且仅当x1yx1111(x1)1[(1x)]12(1x)11，

x1x11x1x当且仅当1x1，即x＝0时，等号成立，此时y的最大值为－1，

1x综上所述，该函数的值域为(,1][3,).

点评：当各项符号不确定时，必须分类讨论，要保证代数式中的各项均为正。

技巧二：巧变常数

例2、已知0x，求函数y＝x（1－2x）的最大值。

解法一：因为0x，所以1－2x>0，

112x(12x)21].

222811解法二：因为0x，所以x0，所以

221x(x)112yx(12x)2x(x)2[]2，

2281111当且仅当xx，即x时，等号成立，所以当x时，y的最大值为.

24481212所以yx(12x)2x(12x)[点评：形如f(x)x(1ax)或f(x)x2(1ax2)等可有两种变形方法：一是巧乘常数；二是巧提常数，应用时要注意活用。

技巧三、分离常数

5x23x3例3、已知x，则f(x)有（ ）

22x4

A、最大值 B、最小值 C、最大值 D、最小值

分析：本题看似无法使用均值不等式，但对函数式进行分离，便可创造出使用均值不等式的条件。

x23x3(x1)(x2)1113((x2)1)，

解：f(x)2(x2)2x222x454543232当且仅当x213，即x＝3时，函数有最小值，故选D. x22 点评：通过加减常数，分离出一个常数是分式函数求值域常用的方法，这里一定要加减好“常数”，以利于问题的解决。

技巧四、活用常数

例4、若x,yR且满足解：由x,yR且当且仅当4x4x161，求x＋y的最小值。

y164164y16x4y16x1得xy(xy)()2022036，xyyxyxy4y16x，即x＝12且y＝24时，等号成立，

xy所以x＋y的最小值是36. 点评：通过配凑“1”并进行“1”的代换，整理后得到基本不等式的形式，减少了使用基本不等式的次数，有效地避免了等号不能同时取到的麻烦。

技巧五、统一形式

例5、已知a,b,cR，求(abc)(解：(abc)(11)的最小值。

abc1111cabcab)[(ab)c]()2224，

abcabcabcabc所以当a＋b＝c时，(abc)(11)的最小值为4. abc 点评：根据分母的特点，进行结构调整为统一的形式，这样便能快速求解。含有根号的问题也要注意形式的统一（如求函数yx1x2(0x1)可变形为yx2(1x2)等）

三、巩固练习

x27x10(x1)的最小值为 1.函数yx12sin2x12.设x(0,)，则函数y的最小值为 2sin2x3．已知x>0,y>0，且1,求x+y的最小值

4.已知a,b,x,yR,x,y为变数，a,b为常数，且ab10,a,b

5.已知x>0,y>0，且xy4,要使不等式小结：

1x4m恒成立，求实数m的取值范围

yaxb1,xy的最小值为18，求y1x9y