一 比较法教学设计模板

安徽蚌埠怀远第三中学

校内数学公开课

课题：比较法

选自教材：人教A版4-5《不等式选讲》

授

课

人：

郭洪莉

授课时间：2018年4月20日下午第三节

授课班级：高二年级19班

授课地点：怀远三中录播室

比较法

一、教学目标：

通过实例使学生体验利用作差或作商比较法证明关于不等式的命题的过程，进而能够归纳证明的具体步骤，初步尝试用作差比较法与作商比较法去解决应用题. 二、教材分析：

本节选自人教A版4-5《不等式选讲》第二章——证明不等式的基本方法，学生在高一阶段已经学习了《必修5》第三章——不等式，并且在《选修2-2》的第二章——推理与证明中习得了一些关于不等式的证明方法，本节是对之前知识的延伸，进一步培养学生的逻辑思维和推理证明的能力，以及对转化思想的理解和应用能力. 三、教学重点与难点: 1.掌握利用作差或作商比较法证明不等式的一般步骤；（重点）

2.通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用。（难点）

四、教学工具：多媒体

五、教学过程：

（一）新课导入：完成下列各题. 1.填空：（1）ab

ab0

（2）ab

(ab0)

（3）ab

(ab0)

（4）ab

( ab0)

2

22

2.下列命题：

①

当b0时,ab②

当b0时,ababa1；

ba1；

b③当a0,b0时,1ab；

④当ab0时,1ab.

其中真命题是

（

A

）

A. ①②③

B. ①②④

C. ④

D. ①②③④

3.要证明ab，可以转化为证明

二、构建新知

1.学习教材第21至22页的例1和例2两个例题，

体会作差比较法的证明过程. 例1 已知a，b都是正数，且ab，求证a3b3a2bab2. 证明:

(a3b3)(a2bab2)(a3a2b)(ab2b3)

a2(ab)b2(ab)(a2b2)(ab)(ab)2(ab)

ab因为a，b都是正数，且ab，

所以(ab)20,(ab)0，于是(ab)2(ab)0，

即(a3b3)(a2bab2)0. 所以a3b3a2bab2

3

例2如果用akg白糖制出bkg糖溶液，则糖的质量分数为，若在上述溶液中再添加mkg白糖，此时糖的质量分数增加到事实抽象为数学问题，并给出证明. 分析：显然，

a,b,m都是正数，而且ab，生活经验告诉我们，在已有的糖溶液中加糖，糖的质量分数增大. 解：可以把上述事实抽象为如下不等式问题，

已知a,b,m都是正数，并且ab，则下面给出证明. 因为amam(ba)

bmbb(bm)ama.

bmbam，将这个bmab又a,b,m都是正数，并且ab，所以m(ba)0,b(bm)0. 所以amam(ba)0. 0，即bmbb(bm)ama. bmb所以2.根据上述两个例题，请同学们交流并归纳作差比较法证明的步骤. ①作差；②变形；③比较差与0的大小；④下结论. 3. 学习教材第22页的例3，体会作商比较法的证明过程. 例3

已知a，b都是正数，求证aabbabba，当且仅当ab时，等号成立. aabba证明：将不等式两边相除，得baaabbba()ab. abb根据不等式的特点（交换a,b的位置，不等式不变）不妨设ab0，4

于是

a. 1,ab0b所以

a()ab1，当且仅当ab时，等号成立. b所以aabbabba，当且仅当ab时，等号成立. 4. 根据上述例3，请同学们交流并归纳作商比较法证明的步骤. ①作商；②变形；③比较商与1的大小；④下结论. 三、应用新知

模仿例题证明，请同学们完成下述证明. 1. 已知a，b都是正数，且ab，求证a4b4a3bab3. 2. 已知a，b都是正数，且ab，求证a5b5a3b2a2b3. 3.根据上述两题请归纳一般结论. 4. 已知a，b都是正数，且ab，求证ab(ab)5. 已知a，b都是正数，求证(ab)aba2bb2a. 四、思考小结：

1. 作差比较法证明的步骤中哪些是难点，你是如何克服的. 2. 作商比较法证明的步骤中哪些是难点，你是如何克服的. 五、作业

1.教材4-5第23页

习题2.1 2.思考：

（1）已知0x1，a0，a1，求证loga(1x)loga(1x). （2）已知m，n都是正数，求证

5

abab2. mnmnnmmn. 2