3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义优秀导入

教案表

课题

3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义

知识与技能：掌握复数的加法运算及意义；

过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运教学目标

算的几何意义

情感态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用

教学重点：

重点

难点

复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系

教学难点：

复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义

教具

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学]课型

新授课

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课时

安排

1 教学方法、教教学过程与教学内容

学手段与学法、学情

讲解新课：

一．复数代数形式的加减运算

1、复数

1与

2的和的定义：

1+

2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 2.复数

1与

2的差的定义：

1-

2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+ (b-d)i. 3.

复数的加法运算满足交换律:

1+

2=

2+

1. 证明：设

1=a1+b1i，

2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈R). ∵

1+

2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i.

2+

1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i. 又∵a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1. ∴

1+

2=

2+

1.即复数的加法运算满足交换律. 4. 复数的加法运算满足结合律: (

1+

2)+

3=

1+(

2+

3) 证明：设

1=a1+b1i.

2=a2+b2i，

3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵(

1+

2)+

3=［(a1+b1i)+(a2+b2i)］+(a3+b3i) =［(a1+a2)+(b1+b2)i］+(a3+b3)i

=［(a1+a2)+a3］+［(b1+b2)+b3］i

=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.

1+(

2+

3)=(a1+b1i)+［(a2+b2i)+(a3+b3i)］

=(a1+b1i)+［(a2+a3)+(b2+b3)i］

=［a1+(a2+a3)］+［b1+(b2+b3)］i

=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i

∵(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3)，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3). ∴(

1+

2)+

3=

1+(

2+

3).即复数的加法运算满足结合律

讲解范例：

例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) 解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i 例2计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i) 解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3

－4+5+…+2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i. 解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i，

(3－4i)+(－4+5i)=－1+i，

……

学](2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i.

学]相加得(共有1001个式子)：

原式=1001(－1+i)+(2003－2004i) =(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i

二.复数代数形式的加减运算的几何意义

复数的加(减)法

(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.

与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).

一一对应１．复平面内的点Z(a,b)平面向量OZ

一一对应2.

复数zabi平面向量OZ

3.复数加法的几何意义：

设复数

1=a+bi，

2=c+di，在复平面上所对应的向量为OZ1、OZ2，即OZ1、OZ2的坐标形式为OZ1=(a，b)，OZ2=(c，d)以OZ1、OZ2为邻边作平行四边形O 1

2，则对角线O 对应的向量是OZ，

∴OZ= OZ1+OZ2=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝

(a+c)+(b+d)i

4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设

=(a－c)+(b－d)i，所以

－

1=

2，

2+

1=

，由复数加法几何意义，以OZ为一条对角线，OZ1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边O 2所表示的向量OZ2就与复数

－

1的差(a－c)+(b－d)i对应由于OZ2Z1Z，所以，两个复数的差

－

1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 例3已知复数

1=2+i，

2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B，求AB对应的复数

，

在平面内所对应的点在第几象限？

解：

=

2－

1=(1+2i)－(2+i)=－1+i，

∵

的实部a=－1＜0，虚部b=1＞0，

∴复数

在复平面内对应的点在第二象限内. 例4

复数

1=1+2i，

2=－2+i，

3=－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 分析一：利用ADBC，求点D的对应复数. 解法一：设复数

1、

2、

3所对应的点为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x，y∈R)，是：

ADODOA=(x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i;

学]

BCOCOB=(－1－2i)－(－2+i)=1－3i. ∵ADBC，即(x－1)+(y－2)i=1－3i，

x11,x2,∴解得

y23,y1.故点D对应的复数为2－i. 分析二：利用原点O正好是正方形ABCD的中心来解. 解法二：因为点A与点C关于原点对称，所以原点O为正方形的中心，于是(－2+i)+ (x+yi)=0，∴x=2，y=－1. 故点D对应的复数为2－i.

三、巩固练习：

1.已知复数

1=2+i,

2=1+2i,则复数

=

2－

1在复平面内所表示的点位于

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

2.在复平面上复数－3－2i,－4+5i,2+i所对应的点分别是A、B、C，则平行四边形ABCD的对角线BD所对应的复数是

A.5－9i

C.7－11i

B.－5－3i

D.－7+11i

学]4.复平面上三点A、B、C分别对应复数1，2i,5+2i,则由A、B、C所构成的三角形是

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.锐角三角形

D.钝角三角形

5.一个实数与一个虚数的差（

）

A.不可能是纯虚数

B.可能是实数

C.不可能是实数

D.无法确定是实数还是虚数

四、小结：

1、复数代数形式的加减运算

2、复数代数形式的加减运算的几何意义

五、、课后作业：课本第112页

习题3.2

1 , 2 , 3

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