小结教学设计(教案)

第三章数系的扩充与复数的引入

—章末整合提升

复数的引入是我们在中学阶段对数系的又一次扩充，这不仅使我们对数的概念有了一个初步完整的认识，也为学生的学习打下了基础，同时复数也是我们学习高等数学的基础，到了大学阶段大家就会学习复变函数论等知识，复数作为一种非常重要的数学工具，在自然科学和工程技术等各个领域都有非常广泛的应用，因此，复数在中学教学中的地位是非常重要的，是不容忽视的。

一．复数概念相关综合问题

例1.已知复数Z=

(1)求复数Z的实部和虚部；

(2)若

+mz+n=1-i(m,n

跟踪训练1若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(

) A.a＝－1 B.a≠－1且a≠2 C.a≠－1 D.a≠2

跟踪训练2已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y. 以上三道习题复习了复数的四则运算包括加减乘除，用到了类比的数

学思想及复数的一些概念，包括复数的代数形式，共轭复数，相等复数，复数的分类，以及i的周期性等，也用到了分类讨论的数学思想。

二．复数的几何意义

1.(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于

(

) A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

跟踪训练1设(1+i)sin θ-(1+icos θ)对应的点在直线x+y+1=0上，则tan θ的值为_______. 跟踪训练2（2014·兰州高二检测)复数m(3+i)-(2+i)(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于(

) A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

以上三题考查复数的第一种几何意义，复数可以用复平面上的点Z(a,b)来表示，引入了复平面的定义及实轴,虚轴的定义。实轴上的点都表示实数，虚轴上的点初原点外都表示纯虚数，各个象限的点表示非纯虚数。

→→2.已知平面直角坐标系中O是原点，向量OA，OB对应的复数分别为2→－3i，－3＋2i，那么向量BA对应的复数是(

) A．－5＋5i B．5－5i C．5＋5i D．－5－5i

3．(2015·东北三校二模)复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1z2＝－2i，则|z1|＝(

) A．1 C．2 [解析] 设z1＝a＋bi，则z2＝－a－bi，

22b－a＝02222∴z1·z2＝－(a－b＋2abi)＝b－a－2abi＝－2i∴ab＝1B．2 D．4

得|a|＝|b|＝1，∴|z1|＝2. 以上考察复数的另一种几何意义，复数可以用平面向量来表示，要求向量的起点必须是坐标原点O,起点不再坐标原点的，规定相等向量表示同一复数，并且复习一下复数模的求法。知道不全是实数的两个复数不可以比较大小，只能比较它们模的大小。

三．复数模的几何意义的应用

复习下|z|所表示的几何意义，表示复平面上的点Z到坐标原点的距离；|z

|=r表示以（0，0）为圆心，以r为半径的圆；|z-

z1|=r表示以z1为圆心，以r为半径的圆；|z-z1|=|z-z2|表示以z1，z2 为线段的端点的垂直平分线的点的集合。

例4.已知复数z1=2-2i （1）

求| z |；

1

（2）

若|z|=1，试求复数z和Z所对应的两点间的距离的最大1值。

[解析]

(1)将b代入题设方程，整理得(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，则b2－6b＋9＝0，且a－b＝0，解得a＝b＝3. (2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，即(x＋1)2＋(y－1)2＝8.∴点Z在以(－1,1)为圆心，22为半径的圆上．画图可知，z＝1－i时，|z|min＝2. 跟踪训练1已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b. (1)求实数a，b的值；

(2)若复数z满足|z－a－bi|＝2|z|，求z为何值时，|z|有最小值并求出最小值．

[解析]

(1)将b代入题设方程，整理得(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，则b2－6b＋9＝0，且a－b＝0，解得a＝b＝3. (2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，即(x＋1)2＋(y－1)2＝8. ∴点Z在以(－1,1)为圆心，22为半径的圆上．画图可知，z＝1－i时，|z|min＝2.

四．做小结

数学知识：复习了复数的概念，复数的几何意义，复数模的几何意义，复数的四则运算；

数学思想：类比；分类讨论；转化；数学结合。复数具有较强的数学思维和数学能力的训练价值，它与我们学过的平面几何，解析几何，函数，三角函数等都有非常紧密的联系。

作业：练习册复数复习题。