2.基本不等式教学创新设计

基本不等式的应用

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．使学生理解掌握重要不等式和基本不等式，尤其是基本不等式．

2．灵活运用基本不等式进行求最值．

（二）能力训练点

培养学生运用凑项、凑系数、分离和换元、函数单调性、整体代换，等等解题技巧的能力．

（三）德育渗透点

培养学生积极主动的参与意识和勇敢尝试、探索的精神．

（四）美育渗透点

利用基本不等式基本不等式在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题的过程渗透不等式所具有的内在同解变形的数学美，激发学生探究数学美的兴趣与激情，从而陶治学生的数学情操。

二、学法引导

1．教学方法：观察法、探究法、尝试指导法、讨论法．

2．学生学法：通过观察、分析、讨论，引导学生归纳小结出解题的技巧，从具体上升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握．

三、重点·难点·疑点及解决办法

（一）重点

掌握基本不等式和重要，尤其是基本不等式．

（二）难点

正确应用基本不等式的解决问题的一系列思路和技巧．

（三）疑点

弄不清“基本不等式的应用口诀”与“利用基本不等式求最值的步骤”之间的关系是学生学习的疑点．

（四）解决办法

讲清“基本不等式的应用口诀”与“利用基本不等式求最值的步骤”之间的区别与联系是教好本节内容的关键．

四、课时安排

2课时

五、教具学具准备

投影仪或电脑、黑板．

六、教学步骤

（－）明确目标

本节课主要学习基本不等式在解决问题中运用技巧．

（二）整体感知

已知 x,y 都是正数，

（1）如果积是定值，那么当相等时，和有最小值

（2）如果和是定值，那么当相等时，积有最大值

口诀：积定和最小，和定积最大

（三）教学过程

1．创设情境，复习引入

什么是重要等式？如何推导？

2.学生活动：独立思考，指名回答．

3.教师活动：1.（1）若a,bR，则ab2ab (2)若a,bR，则ab2. (1)若a,bR，则*22a2b2（当且仅当ab时取“=”）

2abab 2*(2)若a,bR，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”）

ab (当且仅当ab时取“=”(3)若a,bR，则ab）

2*23.若x0，则x12 (当且仅当x1时取“=”）; x1若x0，则x2 (当且仅当x1时取“=”）

x若x0，则x12即x12或x1-2 (当且仅当ab时取“=”）

xxx4.若ab0，则ab2 (当且仅当ab时取“=”）

ba若ab0，则取“=”）

学生活动：观察思考，进行理解．

【教法说明】设置上述习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．

应用一：求最值

例1：求下列函数的值域

11 2（1）y＝3x＋ 2 （2）y＝x＋

2xx1 2解：（1）y＝3x＋ 2

≥22x1 23x· 2 ＝6 ∴值域为[6 ，+∞）

2x1x· ＝2；

x1x· =－2 xababab2即2或-2 (当且仅当ab时bababa1 （2）当x＞0时，y＝x＋

≥2x11当x＜0时，

y＝x＋ = －（－

x－

）≤－2xx∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

解题技巧：

技巧一：凑项

例2：已知x51,求函数y4x2的最大值

44x51不是常数，所以对4x2要4x5解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)进行拆、凑项，

511x,54x0，y4x254x3231

44x554x当且仅当54x1，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。

54x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数

例3：当0x4时，求yx(82x)的最大值。

解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号 当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。

变式：设0x3，求函数y4x(32x)的最大值。

2232x32x9解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)2

222当且仅当2x32x,即x技巧三：

分离

330,时等号成立。

42x27x10例4：求y(x1)的值域。

x1解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即时,y2（x1)459（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

x1技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

(t1)27(t1）+10t25t44y=t5

ttt4当,即t=时,y2t59（当t=2即x＝1时取“＝”号）。

t评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式AB(A0,B0)，g(x)恒子分开再利用不等式求最值。即化为ymg(x)g(x)正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。

a技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)xx的单调性。

例5：求函数yx25x42

的值域。2解：令x24t(t2)，则yx5x24x241t(t2)

tx241

因t0,t1，但t解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。

因为yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y所以，所求函数的值域为,。

课堂练习

1t1t1t5。

2521.求下列函数的最小值，并取得最小值时x的值。x23x1（1）y,x0x1(2)y2x,x3x31(3)y2sinx,x(0,)sinx2．已知0x1，求函数y的最大值. 条件求最值

1.若实数满足ab2,则3a3b的最小值。分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且33定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解：

3和3都是正数，33≥23a3b23ab6

abababab3a3b的当33时等号成立，由ab2及33得ab1即当ab1时，ab x(1x)的最大值.；3．0x2，求函数y3x(23x)最小值是6．

变式：若log4xlog4y2，求11的最小值.并求x,y的值

xy技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。

11例6：已知x0,y0,且1,求xy的最小值。

xy错．解．：x0,y0，且191991，xyxy22xy12 故

xyxyxyxymin12

。

错因：解法中两次连用基本不等式，在xy2xy等号成立条件是xy，在

199等号成立条件是12xxyxy9即y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，y在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：19y9x19x0,y0,1，xyxy1061016

xyxyxy当且仅当19y9x时，上式等号成立，又1，可得x4,y12时，

xymin16

。xyxy变式：

（1）若x,yR且2xy1，求11的最小值

xy(2)已知a,b,x,yR且ab1，求xxyy的最小值

2技巧七、已知x，y为正实数，且x＋2 2y 22

＝1，求x1＋y

的最大值. y2例7：已知x、y为正实数，且x1,求x1y2的最大值。

2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤a 2＋b 22a2b2

。ab

21＋y2· ＝2 2 212同时还应化简1＋y

中y前面的系数为

， x1＋y

＝x

222x·1y

＋ 221y

＋ 分别看成两个因式：

22 2 2 2下面将x，x·1y

＋ ≤22 2x＋( 21yy12 2

＋ )x＋

＋

222232

＝

＝

即x1＋y

＝2 ·x

224 2 21y3

＋ ≤

2 224

【教法说明】以多种解题技巧处理习题可以激发学生学习热情，提高课堂效率；（2）例题6易出错，教师应讲清楚．

（四）总结、扩展

应用基本不等式求最值的问题

(1)利用基本不等式求函数最值的步骤:一正,二定,三相等

(2)先变形再利用基本不等式求函数最值

(3)取不到等号时用函数单调性求最值

一不正,a0,b0常用ab2ab二不定,需变形三不等,常用单调性八、布置作业

1．已知x0,y0且191，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。

xy2．已知a、b、cR，且abc1。求证：1111118

abc3．已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x

＋2y

的最值. 4．求函数y2x152x(1x5)的最大值。

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