1.1.4 投影与直观图优秀公开课教案

第二课时

空间几何体的直观图（一）数学目标1．知识与技能（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图.法的各自特点.（2）采用对比的方法了解在平行投影下面空间图形与在中心投影下面空间图形两种方2．过程与方法学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图.3．情感态度与价值观（1）提高空间想象力与直观感受.（2）体会对比在学习中的作用.（二）教学重点、难点（三）教学方法（3）感受几何作图在生产活动中的应用.重点、难点：用斜二测面法画空间几何值的直观图.在以水平放置的正六边形或正六棱柱为例画直观图，通过多媒体课件的具体准确逐步演示，使学生熟练掌握并归纳斜二测画法去画直棱柱的基本步骤.教学环节

数学内容

三视图用三个角度的正棱影图反映空间几何体创设情境

的形状和大小，我们能否将空间图形用一个平面图形来表示呢？

1．水平放置的平面图形的直观图的画法.直观图.设计意图

设疑激趣点出主题

（1）例1 用斜二测法画水平放置的正六边形的画法：（1）如图（1），在正方边开ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′ = 45°.探索新知

多媒体演示提高上课效率.师生互动，突破重点. （2）在图（2）中，以O′为中点，在x′

轴上取1A′D′=AD，在y′

轴上取M′

N ′ =MN. 以点N ′

为中2点，画B′C′

平行于x′

轴，并且等于BC；再以M ′为中点，画E′F′平行于x′

轴，并且等于EF.（3）连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′

轴和y′

轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′（图（3））

2）

斜二测画法基本步骤.（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平表示水平面.（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半. 2．简单几何体的直观图画法例2

用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm，3cm，2cm的长方体ABCD

–

A′B′C′D′的直观图. 画法：（1）画轴. 如图，画x轴、y轴、z轴，三轴交于点O，使∠xOy = 45°，∠xOz = 90°.多媒体演示提高上课效率.师生互动，突破重点. （2）画底面. 以点O为中点，在x轴上取线段

3MN，使MN = 4cm；在y轴上取线段PQ，使PQ =cm. 2分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.（3）画侧棱. 过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段A′A，B′B，C′C，D′D.（4）成图，顺次连接A，B，C，D，并加以整理（去掉辅助线，将被挡的部分改为虚线），就得长方体的直观图. 3．简单组合体画法例3

已知几何体的三视图说出它的结构特征，并用斜二测画法画它的直观图.xOz=90°.画法：（1）画轴.

如图(1)，画x轴、z轴，使∠（2）画圆的柱的下底面. 在x轴上取A，B两点，使AB的长度等于俯视图中圆的直径，且OA

= OB. 选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱下底面的作法作出圆柱的下底面.前后联系加强知识的系统性. （3）在Oz上截取点O′，使OO′

等于正视图中OO′

的长度，过点O′作平行于轴Ox的轴O′x′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.等于正视图中相应的高度.（4）画圆锥的顶点. 在Oz上截取点P，使PO′

（5）成图. 连接PA′、PB′，AA′，BB′，整理得到三视图表示的几何体的直观图.（如图(2)）画轴的下底面.

O′′

O 正视图

O′

侧视图

O′

O 侧视图

1．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）：

（1）任意三角形；（2）平行四边形；（3）正八边形. 答案：略

2．判断下列结论是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”. （1）角的水平放置的直观图一定是角.

（

√

）

（2）相等的角在直观图中仍然相等.

（

×

）

（3）相等的线段在直观图中仍然相等.

（

×

）

随堂练习

（4）若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行.

（

√

）

3．利用斜二测画法得到的

①三角形的直观图是三角形. ②平行四边形的直观图是平行四边形. ③正方形的直观图是正方形. ④菱形的直观图是菱形. 以上结论，正确的是（

A ）

A．①②

B．①

C．③④

D．①②③④

4．用斜二测画法画出五棱锥P

–

ABCDE的直观图，其中底面ABCDE是正五边形，点P在底面的投影是正五边形的中心O（尺寸自定）. 答案：略

1．平面图形斜二测画法. 归纳总结

2．简单几何体斜二测画法. 3．简单组合斜二测画法. 前后联系加强知识的系统性

巩固所学知识

4．注意事项. 作业

1.2 第二课时

习案

巩固知识

提升能力

备用例题

例1

用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图. 【分析】先画出正五边形的图形，然后按照斜二测画法的作图步骤进行画图. 【解析】（1）如图1所示，在已知正五边形ABCDE中，取中心O为原点，对称轴FA为y轴，对点O与y轴垂直的是x轴，分别过B、E作GB∥y轴，HE∥y轴，与x轴分别交于点G、H. 画对应的轴O′x′、O′y′，使∠x′O′y′ = 45°. （2）如图2所示：以点O′为中点，在x′轴上取G′H′

= GH，分别过G′、H′，在x′轴的11上方，作G′B′∥y′轴，使G′B′ =GB；作H′E′∥y′轴，使H′E′ =HE；在y′轴的点O′上方取2211O′A′ =OA，在点O′下方取O′F′ =OF，并且以点F′为中点，画C′D′∥x′轴，且使C′D′

= CD. 22（3）连结A′B′、B′C′、D′E′、E′A′，所得正五边形A′B′C′D′E′就是正五边形ABCDE的直观图，如图3所示.

1

2

3 【评析】在直观图中确定坐标轴上的对应点及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较好办，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作坐标轴的平行线段与坐标轴相交，先确定这些平行线段在坐标轴上的端点的对应点，再确定这些点的对应点. 例2

已知一个正四棱台的上底面边长为2cm，下底面边长为6cm，高为4cm. 用斜二测画法画出此正四棱台的直观图. 【分析】先画出上、下底面正方形的直观图，再画出整个正四棱台的直观图. 【解析】（1）画轴. 以底面正方形ABCD的中心为坐标原点，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于O，使∠xOy = 45°，∠xOz = 90°.

（2）画下底面. 以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF = AB = 6cm，在y轴上取1∥

，CD ∥

，且使得CD的中点为H，线段GH，使得GH =AB，再过G、H分别作AB ＝

EF

EF＝2AB的中点为G，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图. （3）画上底面. 在z轴上截取线段OO1 = 4cm，过O1点作O1x′∥Ox、O1y′∥Oy，使∠x′O1y′

= 45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中重复（2）的步骤画出上底面的直观图A1B1C1D1.

（3）再连结AA1、BB1、CC1、DD1，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图（图2）. 【评析】用斜二测画法画空间图形的直观图时，对于图中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决：过与坐标轴不平行的线段的端点作坐标轴的平行线段，再借助于所作平行线段确定端点在直观图中的位置，有了端点在直观图中的位置，一切问题便可迎刃而解. 例3

如右图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直2观图. 若A1D1∥O1y，A1B1∥C1D1，A1B1 =C1D1 = 2，A1D1 = O′D1

3= 1. 请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的面积. 【解析】如图，建立直角坐标系xoy，在x轴上截取OD=O′D1=1，OC=O′C1=2. 在过点D的y轴的平行线上截取DA=2D1A1=2. 在过点A的x轴的平行线上截取AB=A1B1 = 2. 连接BC，即得到了原图形. 由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB = 2，CD = 3，直角腰长度为AD = 2.

所以面积为S232= 5. 2【评析】给出直观图来研究原图形，逆向运用斜二测画法规则，更要求我们具有逆向思维的能力. 画法关键之处同样是关键点的确定，逆向的规则为“水平长不变，垂直长增倍”，注意平行于y′轴的为垂直.