小结教学评价实录

《正弦定理和余弦定理》复习课

一、教学内容分析

本章内容准备复习两课时。本节课是第一课时。标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后应落实在解三角形的应用上。

二、教学目标

知识目标：

（1）学生通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦、余弦定理的内容及其证明方法；会运用正、余弦定理与三角形内角和定理，面积公式解斜三角形的两类基本问题。

（2）学生学会分析问题，合理选用定理解决三角形综合问题。

能力目标：

培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力，培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。

情感目标：

通过生活实例探究回顾三角函数、正余弦定理，体现数学来源于生活，并应用于生活，激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值，在教学过程中激发学生的探索精神。

三、学习者特征分析

学生通过必修5的学习，对正弦定理、余弦定理的内容已经了解，但对于如何灵活运用定理解决实际问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形综合问题，学生还需通过复习提点有待进一步理解和掌握。作为复习课一方面要将本章知识作一个梳理，另一方面要通过整理归纳帮助学生学会分析问题，合理选用并熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形综合问题和实际应用问题。

四、教学过程

（一）

创设情境、揭示提出课题

引例：要测量南北两岸A、B两个建筑物之间的距离，在南岸选取相距A点过经纬仪测的BCA453km的C点，并通,BAC75，你能计算出A、B之间的距离吗？若人在南岸要测量对岸B、D两个建筑物之间的距离，该如何进行？

（二）

复习回顾、知识梳理

1．

abc

正弦定理：2R(R为外接圆半径)

sinAsinBsinC正弦定理的变形：

（1）a:b:csinA；sinB：sinC

（2）a2RsinA；b2RsinB;c2RsinC

利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

1

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）

2．余弦定理： a2=b2+c2－2bccosA；

b2=c2+a2－2cacosB；

c2=a2+b2－2abcosC.

b2c2a2cosA=2bca2c2b2cosB=2ac；

；

a2c2b2cosC=.2ac

利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

（1）已知三边，求三个角；

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 3．三角形面积公式：

（三）

自主检测、知识巩固

1.ABC中，A30,a10,c103,则C______; 2. ABC中，a:b:c5:7:8,则B_____

；3. ABC中，sin2Asin2Bsin2CsinBsinC,则A______

（四）

典例导航、知识拓展

2【例1】

△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a=b（b+c），求证：A=2B. 剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边. 22证明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a=b（b+c）中，得sinA=sinB（sinB+sinC）22sinA－sinB=sinBsinC

因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin（A+B）≠0.所以sin（A－B）=sinB.所以只能有A－B=B，即A=2B. 评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解. 思考讨论：该题若用余弦定理如何解决?

【例2】已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，

0（1）

若△ABC的面积为，c=2,A=60,求边a,b的值；

（2）

若a=ccosB,且b=csinA,试判断△ABC的形状。

（五）

变式训练、归纳整理

【例3】已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，若bcosC=(2a-c)cosB

2

(1)

求角B (2)

设,求a+c的值。

剖析：同样知道三角形中边角关系，利用正余弦定理边化角或角化边，从而解决问题，此题所变化的是与向量相结合，利用向量的模与数量积反映三角形的边角关系，把本质看清了，问题与例2类似解决。

此题分析后由学生自己作答，利用实物投影集体评价，再做归纳整理。

（解答略）

课时小结（由学生归纳总结，教师补充）

1.

解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理

2.

根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边.并常用正余弦定理实施边角转化。

3.

用正余弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长。

4.

应用问题可利用图形将题意理解清楚，然后用数学模型解决问题。

5.

正余弦定理与三角函数、向量、不等式等知识相结合，综合运用解决实际问题。

课后作业：

材料三级跳

五、教学策略选择与信息技术融合的设计

教师活动

师生活动：

教师：展示情景图如图

引入生活情境激

发学生的学习欲望，自

然引入新课，同时与其

学生：思考提出测量角A，C

实际相联系，拓宽学生

思维，发展他们联想、

类比能力。

学生举例

预设学生活动

设计意图

1，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为600m，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA距离，如果船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离？

教师：若已知测得学生：思考交流，画一个三角形ABC，使BAC75用类比的思想，通， 得BC为6cm，BAC75，

ACB45，要计算A、BACB45

，量得AB距离约为4.9cm，过已经学过的正余弦两地距离，你 利用三角形相似性质可知AB约为

定理，开展后续教学。

（图1）

490m。

有办法解决吗？

3

老师：对，很好，在初中，我们学过相似三角形，也学过解直角三角形，大家还记得吗？

师生：共同回忆解直角三角形，①直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角。②直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。

。

教师：引导，ABC是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算AB呢？

AD3002（二）数学实验，验证猜想

AB2006m

sinABC3教师：给学2生指明一个方向，我们先通过特殊例展示学生成果。请学生代表本小组交流探究结子检验论

ab设计意图：兴趣是

最好的老师。如果一节学生：思考，交流，得出过A作ADBC于课有良好的开头，那就D如图2，把ABC分为两个直角三角形，意味着成功的一半。因解题过程，学生阐述，教师板书。

此，我通过从学生日常生活中的实际问题引解：过A作ADBC于D

AD入，激发学生思维，激在RtACD中，sinACB

发学生的求知欲，引导AC学生转化为解直角三2角形的问题，在解决问

ADACsinACB6003002m2题后，对特殊问题一般ACB45，BAC75

化，得出一个猜测性的结论——猜想，培养学ABC180ACBACB60

生从特殊到一般思想AD意识，培养学生创造性在RtABD中，sinABC

思维能力。

AB

使学生经历椭圆概念的生成和完善过sinAsinBc是否成sinC立，举出特例。

（1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为60，60，60，对应的边长a：b：c为1：1：1，对应角的正弦值分别为

学生：思考交流得出，如图4，在RtABC中，程，提高其归纳概括能设BC=a,AC=b,AB=c, 则有sinAab，sinB，又力，加深对椭圆本质的cc认识，并

逐渐养成严谨的科学作风

csinC1, cabcc

则sinAsinBsinC从而在直角三角形ABC中，asinA

333，，，222引导学生考察bsinBcsinC

4

ab，，sinAsinBc的关系。（学sinC

学生通过课件观察变化情况

充分发挥学生的学习主性。

设计意图：让学生体验数学实验，激起学生的好奇心和求知欲望。学生自己进行实验，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。

生回答它们相等）

学生：分组互动，每组画一个三角形，度量出 （2）、在△ABC中，∠A，三边和三个角度数值，通过实验数据计算，比∠B，∠C分别为45，45，abc、、的近似值。 90，对应的边长a：b：c较sinA

sinBsinC为1：1：2，对应角的正学生思考后回答

并在实践中通过对比22弦值分别为，，3）、22学生先独立思考，之后全班交流，确定最后的提高决策能力、计算能在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为30，60，90，对应的边长a：b：c为1：3：2，对应角的正弦值分别为解决方案，然后分工合作，共同完成，之后再交流。

学生思考后主动发言回答

学生：思考得出

①在RtABC中，成立，如前面检验。

②在锐角三角形中，如图5设BCa，CAb，ABc

作：ADBC，垂足为D

力、培养学生简约的思维能力。

培养学生运用知识解决问题能力

解决情景设置中的问13，，1。

22教师：对于RtABC呢？

教师：那么任意三角形是否有abc呢？sinAsinBsinC学生按事先安排分组，出示实验报告单，让学生阅读实验报告单，质疑提问：有什么不明白的地方或者有什么问题吗？（如果学生没有问题，教师让学生动手计算，附实验报告单。）

题

AD在RtABD中，sinB

AB

ADABsinBcsinB

AD在RtADC中，sinC

AC检测学习成果

ADACsinCbsinC

csinBbsinC

cb



sinCsinB设计意图：让学生了解ac同理，在ABC中， 解三角形概念，形成知sinAsinC识的完整性

abc

sinAsinBsinC③在钝角三角形中，如图6设C为钝角，设计意图：利用正弦定BCa，CAb，ABc

理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，作ADBC交BC的延长线于D

AD新的定理，解决问题更

在RtADB中，sinB

方便，更简单，激发学AB

ADABsinBcsinB

生不断探索新知识的AD欲望。

在RtADC中，sinACD

ACADACsinACDbsinACB

用实物投影仪展示学5

教师：借助多媒体演示随着三角形任意变换，

a、

sinAbc、值仍然保持相

sinBsinC等。

我们猜想：csinBbsinACB

生中解题步骤规范的cb解答。



sinACBsinB设计意图：自己解决问ac同锐角三角形证明可知

题，提高学生学习的热sinAsinCabc情和动力，使学生体验 sinAsinBsinACB到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习。

学生独立成

学生讨论

学生：思考（联系作高的思想）得出：

在锐角三角形ABC中，

ABBCAC，作单位向量j垂直于AC，

abc==

sinAsinBsinC

三）证明猜想，得出定理

师生活动：

教师：我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明ACjABjBCj

即0ccos(90A)acos(90C)

abc呢？

sinAsinBsinC前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论，每组派一个代表总结。（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述）

教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

csinAasinC0

ca

sinCsinAba同理：

sinBsinAabc

sinAsinBsinC对于钝角三角形，直角

学生练习

abcsinAsinBsinC还有其它证明方法吗？

abc、、sinAsinBsinC都等于同一个比值k，那么它们也相等，这个k到底有比如：

6

没有什么特殊几何意义呢？

教师：从刚才的证明过程中, abc2RsinAsinBsinC，显示正弦定理的比值等于三角形外接圆的直径2R，我们通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”等平面几何方法证明正弦定理，能否利用其他知识来证明正弦定理？比如，在向量中，我也学过ababcos，这与边的长度和三角函数值有较为密切的联系，是否能够利用向量积来证明正弦定理呢？

三角形的情况作简单交代。

六、教学评价设计

本节课整个教学过程为：提出问题——探索——解决问题——归纳反思——提高。在问题的设计中，从多角度探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成。

本节课以问题为纽带，以探究活动为载体，学生在自觉进入问题情境后，在问题的指引下和老师的指导下，通过实践、探索、体验、反思等活动把探究活动层层展开、步步深入，亲身经历知识的产生过程。使学生在知识的形成过程中，获得数学的情感体验，享受到成功的乐趣，同时在思想方法运用、思维能力等方面得到提高和发展。课堂进行中通过实际操作、多媒体课件演示等，激发学生的学习兴趣，使学生让学生在生生互动、师生互动中把学生的学习过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，希望对学生的思维品质的培养﹑数学思想的建立﹑心理品质的优化起到良好的作用。

本节课学生活动较多，知识拓展较深，运算较困难，因此本节课不能按预计完成，剩余问题下节课解决。

七、教学课件

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