信息技术应用 估计√2的值国家优质课一等奖

等差数列及其前n项和

考纲要求

1.理解等差数列的概念，了解等差数列与一次函数的关系。

2.掌握等差数列的通项公式及其前n项和

知识梳理

1．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从

起，每一项与它的前一项的

都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为

(n∈N*，d为常数)．

(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列，则

，其中A叫做a，b的

．

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：an＝

(2)前n项和公式：Sn＝

＝

．

3．等差数列的性质

已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．

(1)通项公式的推广：an＝

．

(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则

(3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为

(4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

(5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．

典例剖析、考点突破

考点一、等差数列的基本运算(高频考点)

典例1

(1)(2014·高考课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝(

) n（n＋1）n（n－1）A．n(n＋1)

B．n(n－1)

C.

D.

22(2)(2015·江西南昌市模拟测试)在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*有2an55D.＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为(

)

A．5

B．10

C.

24

(3)(2013·高考课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(

)

A．3

B．4

C．5

D．6 考点二、等差数列的判定与证明

等差数列的四种判断方法

(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．

(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．

(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．

(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列

1典例2

已知数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1

21（1）求证：是等差数列

(2)求an的表达式

Sn

跟踪训练

1、已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－(n∈N*)，求证：数列{bn}是等差数列．

1an－1(n≥2，n∈N*)．设bn＝1an－1考点三、等差数列的性质及最值

典例3、(1)(2015·兰州市、张掖市高三联合诊断考试)等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项的和是(

) A．13

B．26

C．52

D．156 Sn7na5（2）若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知T＝，则b等n＋3n522721于(

)

A．7

B.3

C.8

D.4

(3)

(2015·深圳调研)等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为(

)

A．S7

B．S6

C．S5

D．S4

（4）2010·山东潍坊五校联合高三期中)已知{an}是等差数列，a1＝－9，S3＝S7，那么使其前n项和Sn最小的n是

(

) A．4

B．5

C．6

D．7 本节小结：

课后作业

1、(2014·高考重庆卷)在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝(

) A．5

B．8

C．10

D．14 2、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＝6，则S5等于(

) A．10

B．12

C．15

D．30 3、(2013·高考重庆卷)若2，a，b，c，9成等差数列，则c－a＝________．

4、设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________ 5．(2014·高考北京卷)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．

6．(2015·湖北荆门调研)已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是________．

7．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________．

2*8．各项均为正数的数列{an}满足an＝4Sn－2an－1(n∈N)，其中Sn为{an}的前n项和．(1)求a1，a2的值；

(2)求数列{an}的通项公式；

an－19．(2015·南昌模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＝(n∈N*，n≥2)，数列{bn}2an－1＋11满足关系式bn＝a(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．

n10．(选做题)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝10，an＋1＝9Sn＋10. (1)求证：{lg an}是等差数列；

3(2)设Tn是数列（lg a）（lg a）的前n项和，求Tn；

nn＋11(3)求使Tn>4(m2－5m)对所有的n∈N*恒成立的整数m的取值集合．