复习参考题第一课时教学设计

第三章

章末复习课

【课时目标】

1．熟练掌握一元二次不等式的解法，并能解有关的实际应用问题．

2．掌握简单的线性规划问题的解法．

3．能用基本不等式进行证明或求函数最值．

【知识结构】

一元二次不—等式的解法—一元二次不等式——一元二次不等式的应用不等式—二元一次不等式组—与平面区域—简单线性规划——简单线性规划—简单线性规划的应用—算术平均数与几何平均数—基本不等式——基本不等式的应用—不等式的性质—不等关系——实数比较大小

【教学过程设计】

一

不等关系

常用的不等式的基本性质

(1)a>b⇔b

(2)a>b，b>c⇒a>c(传递性)；

(3)a>b⇒a＋c>b＋c(可加性)；

(4)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac

(5)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；

(6)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；

(7)a>b>0，n∈N，n≥2⇒an>bn；

nn(8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒a>b. 例1．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是(

)

11A.<

B．a2>b2

ababC.2>2

D．a|c|>b|c| c＋1c＋1答案

C 1111解析

对A，若a>0>b，则>0，<0，此时>，∴A不成立；

abab对B，若a＝1，b＝－2，则a2

ab对C，∵c2＋1≥1，且a>b，∴2>2恒成立，

c＋1c＋1∴C正确；

对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．

例2

若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是________．

答案

f(x)>g(x) 解析

∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，

∴f(x)>g(x)．

二

一元二次不等式

1．一元二次不等式的解集：

判别式

Δ＝b2－4ac

ax2＋bx＋c>0 (a>0) 2ax＋bx＋c<0 (a>0) Δ>0 x1

{x|x< x1或x>x2}

{x|x1

∅

b} 2aΔ<0

R

∅

例1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为(

) A．{x|x<－1或x>2}

B．{x|x≤－1或x≥2} C．{x|－1

D．{x|－1≤x≤2} 答案

D 2．分式不等式与一元二次不等式的同解变形法则：

fx(1)>0⇔f(x)·g(x)>0；

gxgx≤0fx·fx(2)≤0⇔；

gxgx≠0

fx－agxfx(3)≥a⇔≥0. gxgxx－2例2．不等式>0的解集是(

) x＋3A．(－3,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 答案

C x－2解析

解不等式>0得，x>2或x<－3. x＋33．处理不等式恒成立问题的常用方法：

(1)一元二次不等式恒成立的情况：

a>0ax2＋bx＋c>0 (a≠0)恒成立⇔；

Δ<0a<02ax＋bx＋c≤0 (a≠0)恒成立⇔. Δ≤0例3．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是(

) A．(－2,2)

B．(－2,2] C．(－∞，－2)∪[2，＋∞)

D．(－∞，2) 答案

B 解析

∵mx2＋2mx－4<2x2＋4x，

∴(2－m)x2＋(4－2m)x＋4>0. 当m＝2时，4>0，x∈R；

当m<2时，Δ＝(4－2m)2－16(2－m)<0，

解得－2

(2)一般地，若函数y＝f(x)，x∈D既存在最大值，也存在最小值，则：

a>f(x)，x∈D恒成立⇔a>f(x)max；

a

答案

a≥1

三

简单线性规划

一．

二元一次不等式(组)表示平面区域的确定

(1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都相同．

(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．

例1．如图所示，表示满足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的点(x，y)所在的区域为(

)

答案

B 解析

不等式(x－y)(x＋2y－2)>0等价于不等式组

x－y>0，(Ⅰ)

x＋2y－2>0

x－y<0，或不等式组(Ⅱ)分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并x＋2y－2<0.集，可得正确答案为B.

x＋y≥0，例2．在平面直角坐标系中，不等式组x－y＋4≥0，x≤a

(a为常数)表示的平面区域的面

积是9，那么实数a的值为(

) A．32＋2

B．－32＋2 C．－5

D．1 答案

D

解析

区域如图，

易求得A(－2,2)，B(a，a＋4)，

C(a，－a)．

1S△ABC＝|BC|·|a＋2|＝(a＋2)2＝9，由题意得a＝1. 2二

准确利用线性规划知识求解目标函数的最值

用图解法解线性规划问题的步骤：

(1)分析并将已知数据列出表格；

(2)确定线性约束条件；

(3)确定线性目标函数；

(4)画出可行域；

(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；

根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．

x－y＋2≥0，例3．设变量x，y满足约束条件x－5y＋10≤0，则目标函数z＝3x－4y的最大值和x＋y－8≤0，最小值分别为(

) A．3，－11

B．－3，－11 C．11，－3

D．11,3 答案

A 解析

作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z＝3x－4y经过点A时z有最小值，经过点B时z有最大值．易求A(3,5)，B(5,3)．∴z最大＝3×5－4×3＝3，z最小＝3×3－4×5＝－11.

例4．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小2于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获3得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为(

) A．36万元

B．31.2万元

C．30.4万元

D．24万元

答案

B 解析

设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，

2x≥y，可获得利润为z万元，则3x≥5，y≥5，x＋y≤60，

z＝0.4x＋0.6y. 由图象知，

目标函数z＝0.4x＋0.6y在A点取得最大值．

∴ymax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．

四

基本不等式

1 基本不等式求最值

1．如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)．

a＋b2．若a，b都为正数，那么≥ab(当且仅当a＝b时，等号成立)，称上述不等式为2a＋b基本不等式，其中称为a，b的算术平均数，ab称为a，b的几何平均数．

23．基本不等式的常用推论

a＋b2a2＋b2(1)ab≤2≤2

(a，b∈R)；

11(2)当x>0时，x＋≥2；当x<0时，x＋≤－2. xxbaba(3)当ab>0时，＋≥2；当ab<0时，＋≤－2. abab222(4)a＋b＋c≥ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．

xy＋例1．已知x，y∈R，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．

34答案

3 xyxy解析

∵x>0，y>0且1＝＋≥2，

3412xy∴xy≤3.当且仅当＝时取等号．

341例2．若a<1，则a＋有最______值，为________．

a－1答案

大

－1 解析

∵a<1，∴a－1<0，

11∴－a－1＋a－1＝(1－a)＋≥2(a＝0时取等号)，

1－a11∴a－1＋≤－2，∴a＋≤－1. a－1a－125例3．若lg x＋lg y＝1，则＋的最小值为________．

xy答案

2

解析

∵lg x＋lg y＝1，∴xy＝10，x>0，y>0，

252x∴＋＝＋≥2(x＝2时取等号)．

xyx24. 基本不等式及变形的应用

x2－4x＋55例4．已知x≥，则f(x)＝有(

) 22x－455A．最大值

B．最小值

C．最大值1

D．最小值1 24答案

D x2－4x＋5x－22解析

f(x)＝＋12x－4＝2x－2

＝12x－2＋1x－2≥1. 当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时等号成立．

例5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(A．3

B．4

C.92

D.112

答案

B 解析

∵8－(x＋2y)＝2xy＝x·(2y)≤(x＋2y22). ∴原式可化为(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0. ∵x>0，y>0，∴x＋2y≥4. 当x＝2，y＝1时取等号．

例6．已知x>0，y>0，且19x＋y＝1，求x＋y的最小值．

解

方法一

∵19x＋y＝1，

∴x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝10＋yx＋9xy. ∵x>0，y>0，∴yx＋9xy≥2 y9xx·y＝6. 当且仅当yx＝9xy，即y＝3x时，取等号．

又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12. ∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16. 方法二

由1x＋9y＝1，得x＝yy－9，

∵x>0，y>0，∴y>9. x＋y＝yy－9＋y＝y＋y－9＋99y－9＝y＋y－9＋1 ＝(y－9)＋9y－9＋10. ∵y>9，∴y－9>0，

∴y－9＋9y－9＋10≥2 y－9·9y－9＋10＝16，

当且仅当y－9＝9y－9，即y＝12时取等号．

又1x＋9y＝1，则x＝4，

∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16. )

5.基本不等式的实际应用

例7．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)? 解

设使用x年的年平均费用为y万元．

0.2x2＋0.2x10＋0.9x＋2由已知，得y＝，

x10x即y＝1＋＋(x∈N*)．

x1010x10x由基本不等式知y≥1＋2 ·＝3，当且仅当＝，即x＝10时取等号．因此使x10x10用10年报废最合算，年平均费用为3万元．

五．作业设计

1．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(

) aA．a－b<0

B．0<<1 ba＋bC.ab<

D．ab>a＋b

2答案

C 112．已知不等式ax2－bx－1≥0的解是[－，－]，则不等式x2－bx－a<0的解是(

) 23A．(2,3)

B．(－∞，2)∪(3，＋∞) 1111C．(，)

D．(－∞，)∪(，＋∞) 3232答案

A b511解析

由题意知，a<0，＝－，－＝，

a6a6∴a＝－6，b＝5. ∴x2－5x＋6<0的解是(2,3)．

2x＋y≤40，x＋2y≤50，3．若变量x，y满足x≥0，y≥0，

则z＝3x＋2y的最大值是(

) A．90

B．80

C．70

D．40 答案

C 解析

作出可行域如图所示

.

13由于2x＋y＝40、x＋2y＝50的斜率分别为－2、－，而3x＋2y＝0的斜率为－，故线22性目标函数的倾斜角大于2x＋y＝40的倾斜角而小于x＋2y＝50的倾斜角，由图知，3x＋2y＝z经过点A(10,20)时，z有最大值，z的最大值为70.

x－14．不等式≥2的解为(

) xA．[－1,0) B．[－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1]∪(0，＋∞) 答案

A x－1x－1－x－1解析

≥2⇔－2≥0⇔≥0 xxxxx＋1≤0x＋1⇔≤0⇔

xx≠0

⇔－1≤x<0. 5．设a>1，b>1且ab－(a＋b)＝1，那么(

) A．a＋b有最小值2(2＋1) B．a＋b有最大值(2＋1)2

C．ab有最大值2＋1 D．ab有最小值2(2＋1) 答案

A a＋b2解析

∵ab－(a＋b)＝1，ab≤()，

2a＋b2∴()－(a＋b)≥1，

2它是关于a＋b的一元二次不等式，

解得a＋b≥2(2＋1)或a＋b≤2(1－2)(舍去)．

∴a＋b有最小值2(2＋1)．

又∵ab－(a＋b)＝1，a＋b≥2ab，

∴ab－2ab≥1，它是关于ab的一元二次不等式，

解得ab≥2＋1，或ab≤1－2(舍去)，

∴ab≥3＋22，即ab有最小值3＋22. 3x－y－6≤0，6．设x，y满足约束条件x－y＋2≥0，x≥0，y≥0，23为12，则＋的最小值为(

) ab25811A.

B.

C.

D．4 633答案

A 解析

若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值

不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax＋by＝z(a>0，b>0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4,6)时，目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)取得最大值12，

23232a＋3b13ba1325即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，而＋＝(＋)·＝＋(＋)≥＋2＝(a＝babab66ab666＝时取等号)．

5

二、填空题

7．已知x∈R，且|x|≠1，则x6＋1与x4＋x2的大小关系是________．

答案

x6＋1>x4＋x2

解析

x6＋1－(x4＋x2) ＝x6－x4－x2＋1 ＝x4(x2－1)－(x2－1) ＝(x2－1)(x4－1) ＝(x2－1)2(x2＋1) ∵|x|≠1，∴x2－1>0，∴x6＋1>x4＋x2. 8．若函数f(x)＝2x2－2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________．

答案

[－1,0]

解析

由f(x)＝2x2－2ax－a－1的定义域为R. 可知2x2－2ax－a≥1恒成立，即x2－2ax－a≥0恒成立，则Δ＝4a2＋4a≤0，解得－1≤a≤0. y29．若x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为____．

xz答案

3 x＋3zy2解析

由x－2y＋3z＝0，得y＝，将其代入，

2xz22x＋9z＋6xz6xz＋6xzy2得≥＝3，当且仅当x＝3z时取“＝”，∴的最小值为3. 4xz4xzxz【教学反思】

1．不等式是高中数学的重要内容，其中蕴含着许多重要的思想方法，是高考考查的重点．

2．本章内容主要有以下四个方面：①不等式的性质，②一元二次不等式的解法，③简单的线性规划问题，④基本不等式及应用．