阅读与思考 错在哪儿特级教师教学实录

第一章

解三角形

1．1.1正弦定理

《正弦定理》是普通高中课程标准实验教科书必修5中第一章《解三角形》的学习内容，比较系统地研究了解三角形这个课题。本节知识不仅与初中学习的直角三角形的边和角的基本关系有密切的联系，而且紧跟必修4（包括三角函数与平面向量）之后可以启发学生联想所学知识，运用平面向量的数量积连同三角形、三角函数的其他知识作为工具，推导出正弦定理。另外，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，因此，正弦定理亦具有较强的应用性。

课程目标

学科素养

1.掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用a.数学抽象：任意三角形中正弦定理的一般形式；

正弦定理与三角形内角和定理，解斜三角形的两类基本问题。

2.引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

3.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

b.逻辑推理：正弦定理的推导与证明；

c.数学运算：运用正弦定理解三角形；

d.直观想象：运用三角形的外接圆，进行正弦定理的证明；

e.数学建模：能够将实际问题转化为解三角形问题；

教学步骤

教师活动

学生活动

设计意图

一、导入

测量两地之间的距离

回应老师的问题

二、

（1）正弦定理的探究发现与证明

（2）正弦定理的内容

[来源:Z。xx。k.Com]

（3）正弦定理的补充

[来源学科网]（1）在Rt△ABC中，复习正弦函数定义

A

c

b

B C a

abc

(2)sinAsinBsinC

此关系式在任一三角形中都能成立，是真的吗？

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，

即asinAbsinBcsinC.

[来源学科网ZXXK]

(3) 在RtABC中

abcc

sinAsinBsinC

那么在任一三角形中比值都等于c，是真的吗

abc2R

sinAsinBsinC（R是三角形外接圆的半径）

[来源:Z.xx.k.Com]学生容易想到三角函数式子：

ab

sinAsinB

ccc

sinC1

c不难得到：

引导学生结合初中学习abc

过的直角三角形中的边sinAsinBsinC角关系，引导学生不断

②当ABC是锐角三角形时，

地观察、比较、分析，

采取从特殊到一般以及C

合情推理的方法发现并

证明正弦定理

b a

B

A

D

③当ABC是钝角三角形时，

C

b a

A B D

在锐角三角形和钝角三角形中

可通过作高线把锐角或钝角三

角形转化为直角三角形都可得

到如下

abc



sinAsinBsinCc[来源学科网ZXXK]A 第一，告诉同学们当把一个命题从特殊推广到一般时必须给C

B

予证明，因为有的命题推广后不一定成立；

上述证明过程用到了哪种数学思想？

更多精彩的证明方法希望大家课下去合作探究！

A 第二，这里的证明过程也是对前面的思想方法的更近一步的C

强化；

B

B1 第三，借助三角形的外

接圆既对正弦定理

B1 的再次证明，又完善

了正弦定理；学-科网

A

C 第四，研究三角的问题

B 借助外接圆扩散了

学生的思维，培养了在锐角三角形或钝角三角形中，学生思维发散能力。

都有

bb2R

sinBsinB1abc2R

sinAsinBsinC（1）

分类讨论的思想方法

（2）

由特殊到一般的思想方法

一般地，把三角形的三个角A，1.已知三角形的任意两个角与B，C和它们的对边a，b，c叫一边；

ABC中，已知

公式热身：在做三角形的元素。



(1)

A30,B135,c2,则 C

(2)

C135,B30,c2,

则

b00已知三角形的几个元素求其他

(3) c3,A75,B60,

则 b元素的过程叫解三角形

三、正弦定理的应用

我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？

1.已知三角形的任意两个角与一边求解三角形问题；

2.已知三角形的任意两边与其中一边的对角求解三角形问题。

学生抢答完成。



例1：在ABC中，已知A30,

B135,a2,解三角形2.已知三角形的任意两边与其中一边的对角。

(1) 在ABC中，b2,

A300,a2,求B。

(2) 在ABC中，b2,

0

A60,a3,求B通过例题与练习让学生在应用定理解决问题的过程中更深入地理解定理及其作用。

课后探究：

为什么在

“已知两边及其中一边对角”

解三角形问题中会出现一解、两解和无解三种情况？

(3) 在ABC中，b2,

A600,a6,求B

(4) 在ABC中，b2,

0

A60,a1,求B四个学生上黑板板书。

通过对“小结”问题的回答进一步理解本节课学习的内容并培养学生归纳总结的能力。

四、

课堂小结

1、正弦定理：

2、正弦定理的证明：

3、正弦定理的应用：

回答左边的三个问题

课后作业：

1在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为

A直角三角形等腰直角三角形0等边三角形

D等腰三角形

2．在△ABC中，已知角B45,c22,b43,则角A的值是（ D ）

3

A．15°

B．75°

C．105°

D．75°或15°

3．若sinAcosBcosC,则△ABC是（ C ）

abcA．等边三角形

B．有一内角是30°

C．等腰直角三角形

D．有一内角是30°的等腰三角形

4、已知ABC中，a=50，b=256，A=450，求B。

（答：600或1200）

5、在ABC中，已知a=3，b=2，B=450，求角A、C和边c。

（答：A=600，C=750,c=

6262或A=1200，C=150，c=）

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