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教学基本信息

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地方课程或校本课程

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教材

教学设计参与人员

设计者

实施者

指导者

课件制作者

其他参与者

姓名

徐雯

徐雯

徐雯

单位

北京第五十五中学

北京第五十五中学

北京第五十五中学

联系方式

18511408323 18511408323

18511408323

数学

书名：数学5必修

出版社：人民教育出版社

出版日期2007年

4月

学段：

必修五

基本不等式在生活中的应用

否

年级

高二

指导思想与理论依据

高中数学新课标的基本理念是注重高中数学的基础性，使数学得到更广泛的应用，体现数学的文化价值，数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门学科，它是人类文化的重要组成部分之一，不仅是研究其它学科，以及人们参加社会生产和生活的必不可少的工具，还具有极高的美学价值。

新课程倡导“自主、合作、探索”的学习方式,在数学课堂中,探究式学习不仅体现了新课程的教学思想,而且提高了学生自主思维的能力。数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程，而有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，积极思考、动手实践、自主探索是学生学习数学的重要方式。教师应面向全体学生，激发学生的学习积极性，给学生足够的时间经历观察、计算等活动过程，引导他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。

教学背景分析

（一）学习内容分析

“基本不等式” 是人教版数学普通高中课程标准实验教科书必修五第三章“不等式”第四节的内容，共三课时，本节“基本不等式在生活中的应用”是在教材要求的知识体系下,结合新课标中数学来源于生活设计的，目的在于满足未来公民的基本数学需求，为学生进一步的学习提供必要的数学准备。满足学生的兴趣和对未来发展的需求，为学生进一步学习、获得较高数学修养奠定基础，提高应用意识。

本节内容是必修五的重点内容之一，它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究，提供了研究最值问题的一种方法，教材要求学生在了解

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了基本不等式实际背景的前提下，用基本不等式模型解决实际应用中的最值问题。本节课实现了让数学回归生活，让学生经历理解社会实践问题的“数学化”过程：发现数学成分——符号化——概念化——模型化，把一个生产生活中的实际问题，经过适当的刻画、加工、抽象表达成一个数学问题，进而选择合适的数学方法求解。

（二）学生情况分析

由于在高一阶段已经完成了“基本不等式的探索、证明，以及利用基本不等式解决简单问题”以及这学期的函数，解三角形和数列的应用的教学，所以本节课将更深层次的将数学知识的运用放在实际生活中，通过学生自己对知识的发掘拓展真正的让学生们意识到基本不等式在实际生活中可以广泛的解决最大（小）值问题，激发对于不同学习程度的学生的学习兴趣，让学生学习“活的数学”，有用的数学。

（三）教学方式

本节课采用探究与讲授相结合的教学方式，在教学中，突出学生的主动性，让学生通过主动探究，归纳总结

（四）教学手段说明

现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、言道者，教学的一切活动必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生的年龄特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，在引导分析时，给学生留出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构。

（五）

技术准备

学生拍摄视频，点阵笔，裱画知识

教学目标(内容框架)

（一）教学目标

1、知识与技能：通过“从生活中发现问题，讨论中分析问题，设计中解决问题，论证后延拓问题，学习后总结问题”五个环节使学生深刻理解基本不等式，明确基本不等式的使用条件，能用基本不等式解决简单的实际生活中遇到的问题。在解决问题的过程中，培养学生的阅读解题能力，运算能力以及数学应用能力等学科技能。

2、过程与方法：通过情景设置提出问题、揭示课题，让学生理解社会实际问题的“数学化”过程：发现数学成分——符号化——概念化——模型化。培养学生主动探究新知的习惯；引导学生通过问题设计，模型转化，培养学生分析问题、思考问题的能力。

3、情感态度价值观：通过问题的设置与解决使学生理解生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中的实际问题，有利于数学生活化，大众化，在学生不断探究的过程中，可以培养学生发现问题、解决问题的乐趣，培养学生阅读习惯，培养数学建模思想，摆脱了课本的束缚，让学生们任意遨游成为学习的主人，增加学生们的学习乐趣与参与程度。提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。

（二）教学重、难点

1、重点:

如何利用基本不等式把实际问题合理转化为数学问题

2、难点:

如何利用基本不等式把实际问题合理转化为数学问题

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教学过程(文字描述) （一）生活中发现问题

1、回顾基本不等式的相关知识，引入本节课主要研究内容

设计意图：通过复习基本不等式为下一步利用基本不等式解决实际问题作铺垫，从而加深学生应用意识的形成。

2、问题1： 从前有个金店的天平坏了，天平两臂的长度不相等。店主是个吝啬的人，不想购置新天平，但又怕别人说他缺斤短两，于是他想出了一个自以为很公平的称量金子的方法：

先把黄金放入右边的托盘中，并在左边的托盘中增加砝码，这样得到一个读数；然后把黄金再放入左边的托盘中，在右边的托盘中增加砝码，也会得到一个读数。最后，把两个读数相加除以2，作为黄金的真实质量向顾客出售。

用这个办法，店主认为他买卖公平，童叟无欺了。生意做得也倒“诚信”，不少人买他的帐。

但一天来了一位不速之客，顾客却要求按他的方法称量：200克黄金，先把100克的砝码放在左盘，在右盘中不断加黄金，指导天平平衡为止；然后，再在右盘放好100克砝码，在左盘中不断加黄金，也至天平平衡为止。最后，把两次称得的黄金放在一起，就是100+100=200克黄金了。

到底应该按照谁的方法称呢？

设计意图：

带着问题走进课堂，由实际问题出发，引发学生思考，培养学生阅读能力，提高学生对本节课的学习兴趣。

（二）讨论中发现问题

师生活动：回顾思考问题，请学生交流思考结果，教师对讨论过程中学生的发言进行点评。

设计意图：学科知识结合，让学生体会知识间的相互联系

店主的称量方法：

设天平的左右两臂长分别为L1和L2L1L2,两次称量的结果分别为a和b,黄金的真实质量为m根据杠杆原理可以得到下面的两个等式: mL1aL2,bL1mL2

解得mab店主称的结果是

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对两个不相等的正数a和b,总有

顾客的称量方法：

ab

abab2设两次称得黄金的质量分别为m1和m2

生：100L1m1L2,100L2m2L1

L1L2L1L2

m1m21001002200LL2L12L1

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设计意图：

培养学生的语言表达能力，让学生自己体会在解决这个问题的过程中经历了哪些步骤，教师总结。

（三）设计中解决问题

问题2 前不久，我区公布了第十九届学生艺术节个人项目的展演结果，我们年级有多名学生在书法、绘画方面获奖，学校准备制作一期海报展示学生作品，为了版面的美观，宣传部的同学决定要在海报的左右两边留有宽为4厘米的空白，上下留有都为6厘米的空白，中间排版面积为2400平方厘米，如何选择纸张尺寸，才能使纸的用量最小？

设计意图：根据课前思考和总结的思路，尝试解决身边中的实际问题。

师生活动：引导学生分析，学生类比思考，独立完成

问题3 为了把获奖学生的作品更好的留存，学校决定除了做海报还要把这些作品进行装裱。

介绍字画装裱：这是一幅学生作品，由于宣纸特别柔然，所以拿到手中就要格外小心，生怕扯破了，而且想要展平让大家都看的更加清楚也不是特别容易，所以为了克服这些问题，在1500年前，装裱技术就出现。传统书画装裱的过程，需要繁杂的过程和多年学习才能完全胜任。而机器装裱解脱出90%的人力和时间成本。装裱机更适合新时代艺术发展需要，作为书画装裱工艺背后的技术支持，已经越来越多受到全国各地书画市场和专业人士的必备工具。

设计意图：简单介绍字画装裱，让学生了解更多的传统艺术。

一台裱画机购买时费用为5000元，每年的设备管理费用为200元，这种机器的维护费用：第一年100元，第二年200元，第三年300元，依每年100元的增量逐年递增，这台裱画机最多使用多少年年平均费用最少？

设计意图：通过综合性的题目训练，使学生会分析转化使之成为数学问题，感受所总结规律的内涵。

师生活动：学生独立思考，独立解决。

（四）论证后延拓问题

课后思考1 某商品计划两次提价，有甲、乙、丙三种方案，其中p＞q＞0.

经两次提价后，哪种方案的提价幅度最大？为什么？

课后思考2

“白猫”洗衣粉桶的容积一定，且底面和侧面厚度一样，高度和底面半径什么关系时用料最省？普通易拉罐的体积为定值，上下底厚度为侧面厚度的两倍，高与底面半径是什么关系时用料最省？

设计意图：

带着问题走出课堂，课后继续思考，巩固本节课的内容

（五）学习后总结问题

设计意图：培养学生的归纳能力，形成知识体系，在总结过程中给予学生必要的指导，使学生进一步体会用不等式解决实际问题的思路。

师生活动：学生反思，归纳总结，教师作必要的指导

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学习效果评价设计

评价方式：

（1）

通过课堂观察，关注学生在观察、归纳、应用等活动中的主动参与程度与合作交流意识，及时给予鼓励、强化、指导和矫正。

（2）

通过课堂练习，给学生更多机会，在自然放松的状态下，揭示思维过程,反馈知识与技能的掌握情况，使老师可以及时诊断学情，调查教学。

评价量规

评价表（说明：在等级栏内打勾）

内容

自我评价

优

能把自己的想法与他人分享

能认真倾听他人的想法、见解

会画余弦函数图象

会总结余弦函数性质

会运用余弦函数知识解决问题

本节课你的独特见解

本节课你还有疑惑的问题

你对老师的评价和建议

小组评价

良好

需加油

良好

需加油

优

教学设计特色说明与教学反思

课程是“设计问题”驱动，通过“从生活中发现问题（金子称重），讨论中分析问题（复习基本不等式），设计中解决问题（数学建模），论证后延拓问题（基本不等式还能解决生活中的其他问题？），学习后总结问题（通法归纳）”五个环节使学生深刻理解基本不等式，明确基本不等式的使用条件，能用基本不等式解决简单的实际生活中遇到的问题。在解决问题的过程中，培养学生的阅读解题能力，运算能力以及数学应用能力等学科技能.展板设计、工业设计、投资理财......等等问题中的变量有很多，数学呈现了一个解决它们的角度，数学生活化，大众化，贯穿整个课堂，在课堂中渗透、培养学生的数学应用意识是本节课课程文化中完成的最精彩的地方.在金子称重问题复习基本不等式这一工具后，之后的问题围绕方案设计展开，艺术节的画板设计如何既美观又节约耗材；作为商家的定价方案如何既获利又促进销售，等等生活中常见的问题一一展现，学生有了对引例的充分讨论，不断的比较两种不同方案获利情况，利用基本不等式一一解释并解决了以上问题. 教学反思

由于在高一阶段已经完成了“基本不等式的探索、证明，以及利用基本不等式解决简单问题”的教学，所以本节课将更深层次的将数学知识的运用放在实际生活中，通过精心设置的三个问题，让学生体会数学建模的思想，如何从实际问题转化成数学问题。对于这节课我从这几个方面进行了教学反思：

1、关于引入字画装裱这个环节的初衷

这节课我尝试着把字画装裱这门艺术介绍给学生，因为自己本身就喜欢书法，对这方面的知识感兴趣，同时这节课有些问题的背景也可以联系上。

有一个比较直观的说法：当一个人学习了许多数学知识以后，如果把所有的数学知识都忘掉或都“抽出去”，剩下的就是数学文化。数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点、语言以及它们的形成和发展。广义上还包括数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分，还

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包括数学与社会的联系、数学与各种文化的关系，等等。而这些数学文化在人的头脑中落户，则形成一个人的“数学素养”。在数学课堂中渗透数学文化，能够激发学生对数学的兴趣，完成知识的意义建构，最终达到提高数学能力的目的。

2、关于数学阅读

在课前思考部分，我给学生布置了一道故事性很强的大文字量的阅读思考题，其中也包含了我这节课的主要知识，我的目的是激发学生阅读文本兴趣。我认为要使学生对阅读产生兴趣，成为自觉的要求，不感到负担，我们在备课时就要以教材为载体，在学生阅读之前，根据教材特点、学生年龄特征和个性特点，创设一些难度适当的问题情境，通过富有针对性、新颖有趣、有适当难度、有启发性的问题，呈现与学生原有知识相矛盾的悬念或提供几个相互矛盾的方案，使学生产生认知上的冲突，带着一定的问题去阅读，从而诱发和保持学生阅读的动机和兴趣。

3、关于课前和课后

前一段我们学校组织了可持续发展的教学研讨，师生共同带着问题走进课堂,带着新问题走出课堂。只有遵循学生的认知规律、教学规律,才可能实现高效课堂。以问题为纽带的教育才是优质教育。

4、关于调动更多的学生参与到课堂中的想法

打出一些学生的作业，参与视频录制的学生，点阵笔调动学生让更多的学生参与课堂。

5、关于情境引入的视频，看到语文的课本剧金科刺秦王和英语的百万英镑，特别羡慕，有很多表演欲很强的学生，调动他们。

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