认识证明教学内容概述

§7、1

为什么要证明

学习目标：

1.运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否．

2.经历观察、验证、归纳等过程，培养推理意识．

3.了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等．

学习过程：阅读教材P162-163

以前，我们通过观察，实验、归纳得到了很多正确的结论。观察、实验、归纳得到a 的结论一定正确吗？让我们一来探究，从而认识到证明的必要性。

活动1:1、如图中两条线段a与b的长度相等吗？

请你先观察，再度量一下。

结论：a与b 的长度

2、如图把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，和你的感觉一样吗？大家一起算一算：

设赤道周长为c，则赤道的半径为

铁丝围成的圆的半径为

所以铁丝与地球赤道之间的间隙为

：

结论：

活动2：不难发现，当n=0，1，2，3时，代数式n2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n，

n2-n+11的值都是质数．你认为呢？与同伴交流．

n n2-n+11 是否为是

质数

你的结论是：

活动3：如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC的中点，连接DE。DE与BC有怎样是

是

是

0 11 1 11 2 13 3 17 4 23 5 31 6 41 7 53 8 67 9 83 10 11 …

别太相信你的眼睛和直觉呦！

b 101 121

的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想，你能肯定你的结论对所有的△ABC都成了吗？

小组间进行、交流。

A

B

结论：

D E C

归纳、结论：实验、观察、归纳得到的结论可能

也可能

。因此，要判断数学结论

，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行

课堂检测：

1、图中三条线段a、b、c,哪一条线段与线段d在同一直线上？请你先观察，再用三角尺验证一下.

2、n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？

课堂评价

§7、2、1 定义与命题（1）

学习目标：1.了解定义、命题、真命题、假命题的含义，会区分某些语句是不是命题．

2.会区分一个命题的条件和结论，了解判断命题真假的方法。

学新准备：请你举出你所熟知的一些定义例子

学习过程：阅读教材P165-166页

活动1：下面的语句中，哪些语句对事物作出了判断，哪些没有？

（1）

任何一个三角形一定有一个角是直角；

（2）

对顶角相等；

（3）

无论n为怎样的自然数，式子nn11的值都是质数；

（4）

如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；

（5）

你喜欢数学吗？

（6）

作线段AB=CD 你的结论是：

归纳、总结知识点：

定义：

判断一件事情的

，叫做

。

如果一个句子没有对某一件事情做出任何

，那么它就不是

。

即时练习：下列句子哪些是命题？

（1）动物都需要水；

（2）猴子是动物的一种；

（3）玫瑰花是动物；

（4美丽的天空；

（5相等的角是对顶角；

（6）负数都小于零；

（7）你的作业做完了吗？

（8）所有的质数都是奇数；

（9）过直线l外一点作l的平行线；

（10）如果a=b,a=c,那么b=c; 活动2：观察下列命题，，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？

（1）

如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；

（2）

如果a=b,那么ab；

（3）

如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等。

结构特征：

结论：一般地，每个命题都由

和

两部分组成。

是已知的事项，

是由已知事项推断出的事项。命题通常可以写成

“

”的形式，其中“

”引出的部分是条件，“

”引出的部分是结论。

即时练习：指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？

（1）

如果两个角相等，那么它们是对顶角；

（2）

如果a≠b,b≠c,那么a≠c;

（3）

全等的三角形的面积相等；

（4）

如果室外气温低于0℃，那么地面上的水一定会结冰。

222

结论：一个命题有正确的和错误的，我们把正确的命题称为 ，不正确的命题称为 。要说明一个命题是 ，常常可以举出一个例子，使它具备命题的 而不具备命题的 ，这种例子称为 。

即时训练：

指出下列各命题的条件和结论，并指出哪些是真命题，哪些是假命题，并通过反例来说明假命题。

（1）

如果5月4日是星期一，那么5月11日也是星期一；

（2）

三个内角都相等的三角形是等边三角形；

（3）

如果

（4）

两个锐角之和一定是钝角；

2（5）

如果x0，那么x0；

x53x，那么x=4；

23

（6）

两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等。

课堂检测：

指出下列命题的条件和结论分别是什么？各是什么命题？

（1）

如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等；

（2）

如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形；

（3）

直角三角形的两锐角互余；

（4）

两直线平行，同位角相等；

课堂评价 §7、2、2 定义与命题（2）

学习目标：1.了解公理、证明、定理的含义；

2.识记本教材所采用的公理．

3、初步体会证明的思路与书写的过程。

学新准备：1、什么叫做定义？举例说明．什么叫命题？举例说明

2、找出下述命题中的条件和结论，指出它们哪些是正确的命题？哪些是不正确的命题？

（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；

（2）如果a＞b，b＞c，那么a＝c；

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；

（4）菱形的四条边都相等；

（5）全等三角形的面积相等

学习过程：阅读教材P168-170页，完成下列问题: （一）知识点：公理、证明、定理的含义

公理：

证明：

定理：

识记本教材的八条公理：

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦

⑧

要记住啊！

此八条基本事实前面已详细探索过，不必验证它们的正确性，可以直接用来证实其它命题的正确性，另外一条我们将在以后认识它。此外等式和不等式的有关性质也可看作公理．比如：如果a=b，b=c，那么a=c．

（二）你能用所学的公理、定义、性质完成下列定理的证明吗？试试看？

定理：同角（等角）的补角相等。

同角（等角）的余角相等。

三角形的任意两边之和大于第三边。

范例：定理：对顶角相等 已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角。

求证：∠AOC=∠BOD

证明：∵直线AB与直线CD相交于点O （ ）

A ∴∠AOB和∠COD都是平角 （ ）

∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角

（ ）

∴∠AOC=∠BOD （ ）

总结：证明一个命题的步骤：

C D O B

①根据命题画图，

②根据图形和命题写出已知和求证（写成符号语言）

③根据已知对求证进行证明。

课堂检测：

1、下列命题是假命题的是（

）

A、如果a∥b,b∥c,那么a∥c B、锐角三角形中最大的角一定大于或等于60°

C、如果a是有理数，那么a是实数

D、两条直线被第三条直线所截，内错角相等

2、下列叙述错误的是（

）

Ａ、所有的命题都有条件和结论

Ｂ、所有的命题都是定理

Ｃ、所有的定理都是命题

Ｄ、所有的公理都是真命题

3、判断下列命题的真假：

（1）一个三角形如果有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形；

（2）如果∣a∣=∣b∣,那么ab

4、写出下列命题的条件和结论：

（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；

（2）如果两个三角形全等，那么它们对应边上的高也相等。

5、把下列命题“同角或等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式

6、证明：三角形的任意两边之和大于第三边

33

课堂评价

§7、3 平行线的判定

：

学习目标：1.熟练掌握平行线的判定公理及定理；

2.能对平行线的判定进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中

学新准备：两直线平行的判定方法有哪些？

学习过程：阅读教材P172-173

活动1：探索平行线判定方法的证明

定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

简述为：

按要求完成下列问题：

（1）

根据题意画出图形；(2)写出已知、求证；（3）完成证明。

已知：

求证：

把命题的文字语

证明：

言转化成几何图

形和符号语言

1、证明“两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行”

简述为：

2、我们可以用右图的方法作出平行线，你能说说其中的道理吗？（课本173想一想页）

注意：已给的基本事实、定义和已经证明的定理以后都可以作为依据，用来证明新的结论。

平行线的判定性质总结：

注意：证明语言的规范化．推理过程要有依据．

课堂检测：

1、

如图，点B在DC上，BE平分∠ABD，∠DBE=∠A,则BE∥AC,请说明理由

A

E

D B

2、

如图，若MN⊥AB,∠ABC=130°，∠FCB=40°，试判断直线MN与EF的位置关系，

A

M

B

课堂评价

F C C N E §7、4 平行线的性质

学习目标：1.认识平行线的三条性质。

2.能熟练运用这三条性质证明几何题。

3.进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法

学新准备：

1、

同位角相等，两直线

2、

内错角

，两直线平行。

3、

同旁内角

，两直线平行。

学习过程：阅读教材P175-177页

活动1：①

画出直线AB的平行线CD，结合画图过程思考画出的平行线，被第三条直线

所截的同位角的关系是怎样的？

②

平行公理：

③

两条平行线被第三条直线所截，同位角是相等的，那么内错角、同旁内角有什么关系？

∵a∥b

(已知)，

∴∠1＝∠2

(

)

∵∠1＝

(对顶角相等)，

∴

(等量代换)．

归纳结论：两直线平行，

∵a∥b

(已知) ∴

(两直线平行，同位角相等) ∵∠1＋∠4=180°(

) ∴

＝180°

(等量代换)

归纳结论：两直线平行，

即时练习：

1、

已知：如图b∥a,c∥a,∠1、∠2、∠3是直线a、b、c被直线d截出的同位角。

求证：b∥c

d

证明：

a 1

b 2

c 3

2、一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐的角∠B是130°，第二次拐

的角∠C是

课堂检测：

1、已知平行线AB、CD被直线AE所截

(1)若∠1=110°,可以知道∠2是多少度吗？为什么？

(2)若∠1=110°，可以知道∠3是多少度吗？为什么？

(3)若∠1=110°，可以知道∠4是多少度吗，为什么？

2、如图是梯形有上底的一部分，已知量得∠A=115°，∠D＝100°，梯形另外两个角各是多少度？

3、如图，已知直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝44°，∠C＝57°

(1)∠DAB等于多少度？为什么？

(2)∠EAC等于多少度？为什么？

(3)∠BAC、∠BAC＋∠B＋∠C各等于多少度？

4、如图，A、B、C、D在同一直线上，AD∥EF．

(1)∠E＝78°时，∠1、∠2各等于多少度？为什么？

(2)∠F=58°时，∠3、∠4各等于多少度？为什么？

课堂评价

§7、5、1三角形内角和定理（1）

学习目标：1.掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。

2.灵活运用三角形内角和定理解决相关问题。

3.用多种方法证明三角形定理，培养一题多解的能力。

学习过程：阅读教材P178-179 活动1：（1）用折纸的方法验证三角形内角和定理．

（2）

实验1：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。

（3）用严谨的证明来论证三角形内角和定理．看哪个同学想的方法最多？

方法一：过A点作DE∥BC

D A E 动手做一做，相信你能行！

方法二：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．

A

E

D B C

注意：掌握辅助线的作法技巧

结论：三角形内角和定理：

即时练习：

如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。

A

B C D B C

课堂检测：

（1）△ABC中可以有3个锐角吗？

3个直角呢？

2个直角呢？若有1个直角另外两角有什么特点？

（2）△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=？

（3）∠A=50°，∠B=∠C，则△ABC中∠B=？

（4）三角形的三个内角中，只能有____个直角或____个钝角．

（5）任何一个三角形中，至少有____个锐角；至多有____个锐角．

（6）三角形中三角之比为1∶2∶3，则三个角各为多少度？

（7）已知：△ABC中，∠C=∠B=2∠A。

(a)求∠B的度数；

(b)若BD是AC边上的高，求∠DBC的度数？

课堂评价

§7、5、2三角形内角和定理（2）

学习目标：1.掌握三角形外角的两条性质；

2.进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧．

3.灵活运用三角形外角和的两条性质解决相关问题。

学新准备：1、三角形的内角和等于

2、△ABC中，∠C=∠B=4∠A，则∠A=

，∠B=

，∠C= 学习新知：阅读教材P181-182页，完成下列问题：

①

三角形的外角定义：

结合图形指明外角的特征有三：

(1)

顶点在三角形的一个顶点上．

(2)

一条边是三角形的

．

(3)

另一条边是三角形某条边的

．

②

两个推论及其应用

探讨三角形外角的性质：

问题1：如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？

问题2：任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢？

学生归纳得出：

推论1：

三角形的一个外角等于

推论

2：三角形的一个外角大于

即时练习：

1、已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三个外角．

求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°

结论：三角形的外角和等于

2、已知：如图，在△ABC中，∠C=∠B，AD平分外角∠EAC.

3、已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB、PC。

求证：∠BPC＞∠A

课堂评价

学习目标：（1）了解命题的概念与命题的构成；

（2）使学生进一步熟悉平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角的性质等概念；

（3）进一步体会证明的必要性；

E A D B C A P B C 第七章

回顾与思考学案

知识回顾：

1.什么是定义？什么是命题？命题由哪两部分组成？举例说明！

2.平行线的性质定理与判定定理分别是什么？

3.三角形内角和定理是什么？

4.与三角形的外角相关有哪些性质？

5.证明一个命题的基本步骤是什么？

题型训练：

1.下列命题，哪些是真命题？哪些是假命题？如果是真命题，请写出条件与结论，如果是假命题，请举出反例.

（1）同角的补角相等；（2）同位角相等，两直线平行；（3）若|a|=|b|，则a=b.

2.

如图，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线,则：∠1+∠2+∠3=________. 3. 用两个全等的等腰直角三角尺拼成四边形，则此四边形一定是_____。

4. 如图所示，△ABC中，∠ACD=115°，∠B=55°, 则∠A= , ∠ACB= 5. △ABC的三个外角度数比为3∶4∶5，则它的三个外角度数分别为 _____. 6. 已知，如图，AB∥CD，若∠ABE=130°, ∠CDE=152°，则∠

BED=__________. A1AAFBEDFB2E3CBD CD C

第2题图 第4题图 第6题图

7．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是 【 】

（A）锐角三角形 (B)钝角三角形

(C)直角三角形

（D）无法确定

8．锐角三角形中，最大角α的取值范围是

【 】

（A）0º＜α＜90º

(B) 60º＜α＜90º

(C) 60º＜α＜180º

（D）60º≤α＜90º

6、如图：∠A=65º

，∠ABD=∠BCE=30º，且CE平分∠ACB,求∠BEC.

ADE

BC

7、如图，AB，CD相交于O，且∠C＝∠1。试问：当∠2与∠D有什么大小关系时，AC∥BD？请证明你的结论。

8、如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠3=∠C. 求证：∠1=∠2.

课堂评价

B G 3 1 D 2 F A E C