相似多边形教学实录与评析

“三角形相似的判定”的多媒体组合教学设计

番禺市桥星海中学

古小虹

指导思想：

这节课是探索性题目的教学课。设计这节课的主要目的一方面是通过探索性题目的教学，体现分析问题的思维方法，培养学生研究问题的习惯，引导学生从结论出发找到需要的条件，使问题得以解决；另一面是通过图形的变式，拓展学生的思维，加强思维的完整性和严谨性。

教学过程中从同学们较熟悉的与三角形一边平行的直线截三角形这种情况入手，截线由平行三角形的一边变到不平行，到过三角形的一顶点，再到截三角形两边的延长线。通过简单图形的变形，引导学生如何从结论出发，结合图中的已知条件找到使讨论成立的条件，使问题得到解决，增强学生的自信心，使学生有一定的成就感。为后面的练习——如何从复杂图形中找到这些简单图形做好准备。

目的要求：

1、进一步掌握三角形相似的判定方法，提高学生分析问题解决问题的能力。

2、通过探索性题目的教学，体现分析问题的思维方法，培养学生研究问题的习惯。

教学重点：

三角形相似的判定方法，会运用这些方法判定三角形是否相似

教学难点：

如何由已知命题的结论，寻找使结论成立的题设

教学关键：

在教学中，提醒学生去发现一此规律，使学生在解题证明时更加自觉

教学环

节

教学内容

一、复习

1、判定两个三角形相似的方法有几种？

2、如图（1）当PD//BC时，△APD~ABC

A

P

D

B

C

（1）

无论直线PD如何移动，只要PD//BC，直线PD所截得的三角形与原三角形相似。

（引入）提出问题

问1：若PD不平行BC时，能否得到相似的三角形？

问2：图（2）两三角不相似，图（3）两三角形也不相似，那么在PD不平行BC的情况下，有没有可能得到相似的三角形？

问3：如图（4），在这种情况下，直线PD所截得的三角形与原三角形相似吗？

教学手段、方法

提问学生

1、判定两个三角形相似的方法有：

（电脑显示）

1）两角对应相等，两三角形相似：

2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似：

3）三边对应成比例，两三角形相似：

4）斜边与一条直角边对应成比例，两直角三角形相似。

2、当PD//BC时，△APD~△ABC。

电脑显示直线PD的移动过程

PD

AAAA

PPDDPD

CBCBCBCB

让学生观察电脑显示直线PD的移动。由图片（1）得图（2）

提问学生

图（2）不相似

A

D

P

A

B（2）

APD

PB

D（1）

BC（3）

再观察直线PD的移动过程由图（1）得

图（3），提问学生

图（3），也不相似

让学生猜测完后，观察电脑显示，由图（1）得图（4）的过程。

A

A

DPP

D

BCBC

（4）（1）

学生回答：相似

复

习

引

入

图

形

变

式

问4、：满足什么条件，这两三角形相似？

提出问题

如图（4），P.D是△ABC的边AB、AC上的点，那么满足什么条件，△APD与△ABC会相似。

A

PD

BC

（4）

问1：图中△APD与△ABC有什么共同特点？

分析：A

A P

B

P

C D

C

D

B （1）△APD~△ABC，

（2）△APD~△ACB

问2：有没有可能出现第一种情况？为什么？

问3：在已知一个角对应相等的条件下，要使APD~△ACB，还要些什么条件？

问4：∠APD与∠C是否相等呢？

解：

∵∠A=∠A ∴当∠APD=∠C时，△APD~△ACB （两角对应相等，两三角形相形）

∴∠A=∠A ∵当∠APD=∠B时，△APD~△ACB

（两角对应相等，两三角形相形）

∵∠A=∠A ∵当∠AP：AC=AD：AB时

△APD~△ACB（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）

为引起学生注意，现在研究的是直线PD截△ABC的两边AB，AC所得的△APD与△ABC相似的问题，因此△APD闪动一会儿，让学生清楚现在研究的是哪两个图形。

有一个公共角（显示公共角）

在黑板分析

由于△APD与△ABC之间没有用“~”符号，因此在已知一个角对应相等的情况下，有两种可能：

（1）△APD~△ABC

（2）△APD~△ACB

提问学生

没有可能。若△APD~△ABC，则∠APD=∠ABC，那么PD//BC与已知条件相矛盾。

通过这个学习，掌握三角形相似的对应关系。

提问学生

还需要1）∠APD=∠C

让学生注意观察，电脑对∠APD与∠C的比较，通过比较得∠APD=∠C

老师归纳

根据学生回答的实际情况，通过电脑灵活显示解题过程。

提问学生

1、除了找这一对角相等外，还可以找那一对角相等？

还可以找2）∠ADP=∠B

2、在已知一个角相等的情况下，除了找另一个角对应相等外，还可以找什么条件？

3).AP：AC=AD：AB

图

形

变

式

提出问题

将图(4)的直线PD继续移动,使PD经过△ABC的顶点C,这时(图5)直线PC所截得的△ACP与△ABC还相似吗?

分析：△ACP与△ABC之间用了“~”符号，明确对应关系，而且对应关系是唯一的。

解：

∴∠A=∠A ∵当∠APC=∠C（或∠ACP=∠B）时

△ACP~△ABC（两角对应相等，两三角形相似）

∴∠A=∠A ∵当∠AP：AC=AC：AB时

△ACP~△ABC（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）

提出问题

图（5）的△BCP与△ABC相似吗？

若将图（5）的直线PC继续移动得图（6）在这种情况下（图6）△BCP与△BAC相似吗？满足什么条件，△BCP~△BAC？

∠B=∠B ∠BCP=∠BAC

∠B=∠B

△BCP~△BAC ∠BPC=∠BCA

∠B=∠B

找已知这个角的两夹边对应成比例，电可以判定△APD~△ACB。

AA

PPDD

BBCC

（4）（5）相似

让学生动手找两三角形相似的条件。

提问学生。

教师巡视

老师归纳

电脑显示解题过程

提问学生

不相似

电脑显示移动过程

AAP

P

BBCC

（5）（6）

可能相似

让学生自己动手做

老师归纳

电脑显示

BP：BC=BC：BA

1、如图（7）△ADP的两边AP.AD在△ABC的两边BA.CA的延长线上，DP不平行于BC，△ADP与△ABC能否相似？

满足什么条件，△ADP与△ABC相似？

DABC

P先让学生回答第一个问后，再显示第二问。

第二个问学生自己动手做，教师巡视。

实物投影显示一位学生的解题过程。

提问学生

若△APD∽△ABC。则∽△∠C 那么DP//BC，与已知相矛盾。

引导学生注意，三角形相似的对应关系。

学生注意电脑的显示过程

A

D

PDPEDBCBCBCAA巩

固

练

习

（7）

解：

∵∠DAP=∠BAC ∴当∠ADP=∠ABC（或∠APD=∠ACB）时，△ADP∽△ABC（两边对应成比例夹角相等两三角形相似）

提出问题：

图（7）△ADP∽△ABC，为什么不是△APD∽△ABC呢？

图（7）与上面的图形变式是乎有很大的区别，实际图（7）也是图（3）的变式。图（2）移动直线PD，使PD与△ABC的两边BA.CA的延长线交于P、点D。

2、在△ABC中，若AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，在AB上找一点E，（2）

（7）

引导学生注意直线PD的移动过程。截△ABC的两边，到截△ABC两边的延长线。

电脑显示练习

引导学生注意△ADE与△ABC的相似情况。

当AE=

时，△AED与△ABC相似。

教师巡视

提问学生（根据学生回答的实际情况显示）

第一种情况，如图（8）

电脑显示AE=8/3，图（8）

AE=8/3 AEB（8）

DC

第二种情况，如图（9）

AE=3/2 电脑显示AE=3/2，图（9）

巩

固

练

习

A

E

小结：由于△ADE与△ADC之间没有明确D对应关系，因此有两种情况。

B（9）

C3、如图（10）在△ABC中，AD⊥BC于点D

过点B作直线BE与直线AC相交于E，怎电脑显示练习

样作BE，可得△ACD和△BEC相似？为教师巡视，视情况给予适当的提示。

什么？

A

B

（10）

提示：

问1：从图中看△ACD和△BEC有什么共同特点？

问2：△ACD是个什么三角形？

问3：与△相似△BEC是什么三角形？

解：作BE⊥BC于E ∵∠C=∠C ∠BEC=∠ADC=90°

∴△BEC=C∽△ADC

（两角对应相等，两三个角相似）

DC

有一个公共角（∠C，点C对应点C）

直角三角形（AD⊥BC于点D）

直角三角形

教师再巡视

提问学生（根据学生回答的情况来显示）

电脑显示过程

1、作BE⊥AC于E 2、用不同颜色的线填涂∠ACD与△BEC，让学生直观看到研究的对象。

3、解答过程

提问学生（还有其它的作法吗？）

电脑显示过程

1、作BE⊥BC于B

2、用不同颜色的线填涂△ACD与△BEC，让学生直观看到研究的对象。

3、解答过程

AE

B

（11）

解：作BE⊥AC于E E∵∠C=∠C A∴∠BEC=∠ADC=90°

∴△BEC∽△ADC

（两角对应相等相似，

BD两三角形相似）

（12）

DCC

归纳：

巩

固

练

习

BAEEA电脑同时显示图（11、12），让学生加深相似三角形的对应关系，有时不是唯一的。

CD1、图形的变式：（电脑显示）

BDC

小

结

AEBDCBEAPDCB深

化

练

习

DP

2、通地以上图形的变式练习，可以看到，两三角形相似的情况，用“∽”符号与不用“∽”A符号是不同的。用“∽”符号说明这两三角形的对应关系已明确，而且对应关系唯一；不B用“∽”符号，说明这两个三角形的对应关系不确定，要在具体的解题过程中去分，判断是一个解或多个解的情况。

BC练习：

1、如图（13）当四边形ABCD AD满足什么条件时，△ADF∽

△

EBA F2、如图（13）当CD=CE时，直

直线AB.CD满足什么条件时，

△ABE和△AFD相似？

BEC

（13）

（图形较复杂，不再是基本图形。）

附：课堂教学流程图

开

始问题引入平三所行角得于三形两的三角边角形或形一两与边边原的直的延三角线长形截线相似不截形平三与行于角形原三三的角角两形形边的一所关边的得的系直三线角不边的平所条行三得的件会角三相形角似一形边与的直原三线角截形三满角形足一两定学

得教师评析教师逻辑判断