在平面直角坐标系中画位似图形教案3

27.3 位似

第2课时 平面直角坐标系中的位似

一、学习目标：

1．学会用图形坐标的变化来表示图形的位似变换；

2．掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，对应点的坐标变化的规律. 二、学习重难点：

重难点：掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，对应点的坐标变化的规律．

探究案

三、教学过程

课堂导入

如图所示的是幻灯机的工作情况，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30 cm．幻灯片到屏幕的距离是1.5 m，幻灯中的小树的高度是10 cm，请你利用相似三角形的知识，算出屏幕上小树的高度．

课堂探究

知识点一：平面直角坐标系中的位似变换

如图(1)，在直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6, 0)．以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？

如图(2)，△AOC三个顶点的坐标分别为A (4，4)，Ｏ(0, 0)， C(5, 0)．以点O为位似中心，相似比为2，将△AOC放大. 观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？

归纳总结

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于_____________.即若原图形的某一顶点坐标为(x0，y0)，则其位似图形对应顶点的坐标为__________________________．

注意：这里的相似比指的是新图形与原图形的对应边的比．

例题解析

例1 〈武汉〉如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为

在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为(

) A．(2，1)

C．(3，3)

B．(2，0)

D．(3，1)

归纳总结

小试牛刀

1.在 × 的网格图中，已知△ABC和点M(1，2)．

(1)以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；

(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．

2.△ABC三个顶点A(3，6)、B(6，2)、C(2，－1)，以原点为位似中心，得到的位似图221形△A′B′C′三个顶点分别为A′( ，2)，B′(2，)，C′(，－)，则△A′B′C′与△ABC333的位似比是________．

课堂探究

知识点二：在平面直角坐标系中画位似图形

如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，位似比为 ∶ ，把线段AB缩小．观察对应点之间的坐标的变化，你有什么发现?

归纳总结

例题解析

例2 如图，

△

ABO三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，0)，原点Ｏ为位似中心，画出一个三角形，使它与△ ABO的相似比为

．

归纳总结

(0，0)．以Ｏ

小试牛刀

1.如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A(1，0)与点A′(－2，0)是对3应点，△ABC的面积是，则△A′B′C′的面积是多少？

2

2.如图，点A的坐标为(3，4)，点O的坐标为(0，0)，点B的坐标为(4，0)．

(1)将△AOB沿x轴向左平移1个单位后得△A1O1B1，则点A1的坐标为(________)，△A1O1B1的面积为________；

(2)将△AOB绕原点旋转180°后得△A2O2B2，则点A2的坐标为(________)；

(3)将△AOB沿x轴翻折后得△A3O3B3，则点A3的坐标为(________)；

(4)以O为位似中心，按比例尺 ∶ 将△AOB放大后得△A4O4B4，若点B4在x轴的负半轴上，则点A4的坐标为(________)，△A4O4B4的面积为________．

随堂检测

1．如图，在直角坐标系中有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为1，在第一象限内把线段AB缩小后得到CD，则C的坐标为() 3A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)

2．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，在第三象限内将△AOB扩大到原来的2倍，得到△OA′B′.若点A的坐标是(1，2)，则点A′的坐标是() A．(2，4) B．(－1，－2) C．(－2，－4) D．(－2，－1)

3．如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P的坐标为() A．(0，0) B．(0，1) C．(－3，2) D．(3，－2)

4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，6)，B(－9，－3)，以原点O为位似中1心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是() 3A．(－1，2)

B．(－9，18) C．(－9，18)或(9，－18)

D．(－1，2)或(1，－2)

5．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示)，则大鱼上的一点(a，b)对应小鱼上的点的坐标是_____________．

课堂小结

位似变换的坐标特征：

关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点(x，y)经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx，ky)或(－kx，－ky)．．

我的收获

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

参考答案

课堂探究

知识点一：平面直角坐标系中的位似变换

可以看出，图(1)中，把AB缩小后，A，B 的对应点为A′ ( ，1)，B′ ( ， 0)；

A″ (－2，－1)，B″ (－2, 0)．图 (2)中，把△AOC放大后，A，Ｏ，C的对应点为Ａ′(8，8)，O(0， 0)，C′ ( 0， 0)； A"(－8，－8)，O(0，0)，C″ (－10， 0). 归纳总结

k或－k(kx0，ky0) 或(－kx0，－ky0) 例题解析

例1解析：根据题意可知，A(6，3)，原点O为位似中心且在第一象限内将线段AB缩小为原来的

后得到线段CD，所以C(2，1)，故选择A 小试牛刀

1.解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求；

( )△A′B′C′的各顶点坐标分别为A′( ，6)，B′(5，2)，C′(11，4)．

方法总结：画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．

2.解析：∵△ABC三个顶点A(3，6)、B(6，2)、C(2，－1)，以原点为位似中心，得到221的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′( ，2)，B′(2，)，C′(，－)，∴△A′B′333C′与△ABC的位似比是 ∶ .

方法总结：以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐标的比．

课堂探究

知识点二：在平面直角坐标系中画位似图形

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或

－k

例题解析

例2分析：由于要画的图形是三角形，所以关键是确定它的各顶点坐标．根据前面总结的规律，点A的对应点A′的坐标为

－

其他顶点的坐标．

解：如图，利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点A′(－ 3，6)，B′(－3，

0)， O(0， 0)．顺次连接点A′，B′，O，所得△

A′ B′ O就是要画的一个图形．

，

即(－3，6)．类似地，可以确定

小试牛刀

1.解析：∵点A(1，0)与点A′(－2，0)是对应点，原点O是位似中心，∴△ABC和△A′B′C′的位似比是 ∶ ，∴△ABC和△A′B′C′的面积比是 ∶ ，又∵△ABC的面积3是，∴△A′B′C′的面积是6. 2方法总结：位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．

2.解析：(1)将△AOB沿x轴向左平移1个单位后得△A1O1B1，则点A1的坐标为(2，4)，1△A1O1B1的面积为× × ＝8；(2)将△AOB绕原点旋转180°后得△A2O2B2，则点A2的坐标为2(－3，－4)；(3)将△AOB沿x轴翻折后得△A3O3B3，则点A3的坐标为(3，－4)；(4)以O为位似中心，按比例尺 ∶ 将△AOB放大后得△A4O4B4，若点B4在x轴的负半轴上，则点A41的坐标为(－6，－8)，△A4O4B4的面积为×8×8＝32.故答案为(1)2，4；8；(2)－3，－4；2(3)3，－4；(4)－6，－8；32. 方法总结：此题主要考查了图形的旋转以及平移和位似变换、三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键．

随堂检测

1.A 2.C 3.C

4.D 5.(－0.5a，－0.5b)