加减法解二元一次方程组课时教学实录

第五章

二元一次方程组

２．求解二元一次方程组（二）

一、学生起点分析

在学习本节之前，学生已经掌握了有理数、整式的运算、一元一次方程等知识，了解了二元一次方程、二元一次方程组等基本概念，具备了进一步学习二元一次方程组的解法的基本能力。

二、教学任务分析

《二元一次方程组的解法》是义务教育课程标准北师大版实验教科书

八年级（上）第五章《二元一次方程组》的第二节（两课时）。第1课时，让学生学习了二元一次方程组的解法——代入消元法。本节课为第2课时，学习二元一次方程组的另一解法——加减消元。

加减消元法也是解二元一次方程组的基本方法之一，它要求两个方程中必须有某一个未知数的系数的绝对值相等（或利用等式的基本性质在方程两边同时乘以一个适当的不为0的数，使两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等），然后利用等式的基本性质在方程两边同时相加或相减消元。

三、教学目标分析

（一）知识与技能：

1、使学生掌握用加减法解二元一次方程组的步骤。 2、学会用加减消元法解二元一次方程组。

（二）过程与方法：

让学生经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会消元的思

想，化归的思想。

（三）情感、态度、价值观：

培养学生学会自主探索，与他人合作，

与人交流思维过程的习惯。

重点：探索加减消元法解二

元一次方程组。 难点：如何运用加减法进行消元。

四、教学过程设计

本节课设计了六个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：情境引入；第三环节：讲授新知；第四环节：巩固新知；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业.

第一环节：知识回顾

老师引导学生回顾上节所学的代入消元法的思路及步骤（采用师问生答的方式）。

第二环节：情境引入

内容：依次出示三张图片小明、小亮、小丽三位同学三种不同的解题思路中发现新的解决方法、引入新课（教师板书课题）

第三环节：讲授新知

怎样解下面的二元一次方程组呢？（让学生沿着小丽同学的思路发表自己的看法，分析解题思路，引导学生发现方程①和②中的5y和－5y互为相反数，根据相反数的和为零将方程①和②的左右两边相加，然后根据等式的基本性质消去了未知数y，得到了一个关于x的一元一次方程，从而实现了化“二元”为“一元”的目的。这就是我们这节课要学习的二元一次方程组的解法中的第二种方法——加减消元法。

下面我们就用刚才的方法解下面的二元一次方程组。（教师规范表达解答过程，为学生作出示范）

①3x5y21

2x5y11②解：①+②得：5x10,

解得：x2,

把x2代入①，解得：y3,

所以方程组的解为x2y3

解答完本题后，口算检验，确保解题的正确性。通过上面的解答，同学们不难发现相同字母系数互为相反数时的解题方法的关键所在（留些时间给学生观察，注意引导学生观察方程中某一未知数的系数，如x的系数或y的系数）

设计意图：在练习的过程中学会思考、分析，通过思考自然地得出我们要研究和解决的问题.

引导学生观察下面的二元一次方程组.

例 解下列二元一次方程组



2

x



5

y



7

①

⑴





2

x



3

y





1

②

分析：观察到方程①、②中未知数x的系数相等让学生观察发表自己的见解，可以利用两个方程相减消去未知数x.让学生仿照上题解题过程自己解答（小组交流解题过程，

然后老师多媒体出示规范解题步骤，进行比较）。

解：②—①得：

8y =-8

解得：y1,

把y1代入①，得：2x57,

解得：x1,

所以方程组的解为x1.

y1(解答完本题后，口算检验，让学生养成进行检验的习惯，同时教师需强调以下两点：

(1)注意解此题的易错点是②-①时是（2x+3y）-(2x-5y)=-1-7，方程左边去括号时注意符号。另外解题时，①-②或②-①都可以消去未知数x，不过在①-②得到的方程中，y的系数是负数，所以在上面的解法中选择②-①；

(2)把y＝-1代入①或②，最后结果是一样的，但我们通常的作法是将所求出的一个未知数的值代入系数较简单的方程中求出另一个未知数的值.

师生一起分析上面的解答过程，归纳出下面的一些规律：

在方程组的两个方程中，若某个未知数的系数是互为相反数，则可直接把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；若某个未知数的系数相等，可直接把这两个方程的两边分别相减，消去这个未知数得到一个一元一次方程，从而求出它的解。

巩固练习：

指出下列方程组求解过程中有无错误步骤，若有，请给予订正：来强化具有两种特征的方程所要注意的地方，方法是学生观察交流合作，小组推出一代表给出结论。

用加减消元法解下列方程组.

让学生观察上面这些方程组的特点。，请同学们思考下面两个问题：

(1)加减消元法解二元一次方程组的基本思路是什么？

(2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？

（师生共同总结）

(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.

(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：

①加减消元，得到一个一元一次方程.

②解一元一次方程．

③把求出的未知数的解代入原方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值，从而得方程组的解．

［师生共析］⑵2x3y12①3x4y17②

（先留一定的时间让学生观察此方程组，让学生说明自己观察到方程有什么特点，能不能自己解决此方程组，用什么方法解决？如学生提

出用代入消元法，老师给予肯定，然后再问能不能用刚学过的加减消元法解决？让学生讨论尝试，学生可能得到的结论如下）

1.对于2x3y12用加减消元法解，x、y的系数既不相同也不是相3x4y17反数，没有办法直接用加减消元法.

2.是不是可以这样想，将方程组2x3y12中的方程用等式的基本3x4y17性质将这个方程组中的x或y的系数化成相等(或互为相反数)的情形，再用加减消元法，达到消元的目的.

引导学生合作交流找x的系数2和3的最小公倍数6，在方程①两边同乘以3，得6x9y36③,在方程②两边同乘以2，得6x8y34④,然后③-④，就可以将x消去，得y2,把y2代入①得，x3.所以方程组的解为x3,

y2.（在引导的过程中，肯定学生的好的想法.）其实在我们学习数学的过程中，二元一次方程组中未知数的系数不一定刚好是同一个未知数的系数相同或互为相反数.我们遇到的往往就是这样的方程组，我们要想比较简捷地把它解出来，就需要转化为同一个未知数系数相同或互为相反数的情形，从而用加减消元法，达到消元的目的.和大家一起把解答过程写出来.

解：①×3，得：6x9y36， ③

②×2,得：6x8y34， ④

③－④，得：y2.

将y2代入①，得：x3.

所以原方程组的解是x3.

y2用加减消元法解下列方程组.（

你可以选择你喜欢的一题解答）

议一议：

根据上面几个方程组的解法，请同学们思考下面两个问题：

(1)加减消元法解二元一次方程组的基本思路是什么？

(2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？

(由学生分组讨论、总结并请学生代表发言)

［师生共析］

(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.

(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：

①变形----找出两个方程中同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，然后分别在两个方程的两边乘以适当的数，使所找的未知数的系数相等或互为相反数．

②加减消元，得到一个一元一次方程.

③解一元一次方程．

④把求出的未知数的解代入原方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值，从而得方程组的解．

注意：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等).通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程右边的形式，再作如上加减消元的考虑.

设计意图：使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性．

效果：通过本环节的学习，加深和巩固了学生对加减消元法的认识.

第四环节：巩固新知

内容：

回忆上一节的练习和习题，看哪些题用代入消元法解起来比较简单？哪些题我们用加减消元法简单？我们分组讨论，并派一个代表阐述自己的意见，试说明两种解方程组的方法的共同特点和各自的优势. （1）关于二元一次方程组的两种解法：代入消元法和加减消元法，通过比较，我们发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”. （2）只有当方程组的某一方程中某一未知数的系数的绝对值是1时，用代入消元法较简单，其他的用加减消元法较简单. 课堂检测：

一、完成下面填空。

1、两个二元一次方程中，同一个未知数的系数_______或______ 时，把这两个方程的两边分别_______或________ ，就能________这个未知数，得到一个____________方程，这种方法叫做________________，简称_________。

2、加减消元法的步骤：①将原方程组的两个方程化为有一个未知数的系数_____________的两个方程。②把这两个方程____________，消去一个未知数。③解得到的___________方程。④将求得的未知数的值代入

原方程组中的任意一个方程，求另一个未知数的值。⑤确定原方程组的解。

3、_______法和______法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过_____使方程组转化为________方程，只是_____的方法不同。当方程组中的某一个未知数的系数______时，用代入法较简便；当两个方程中，同一个未知数系数_______或______，用加减法较简便。应根据方程组的具体情况选择更适合它的解法。

二、自学、合作、探究

1、方程组2x3y1中，x的系数特点是______；方程组2x5y25x3y8中，y的系数特点是________.这两个方程组用______法7x3y4解比较方便。

用加减法解方程组2x3y5时，①-②得___________. 2x8y3x4y6有以下四种消元的方法：

x4y122、解二元一次方程组⑴由①+②得2x=18；

⑵由①-②得-8y=-6；

⑶由①得x==6-4y③,将③代人②得6-4y+4y=12；

⑷由②得x=12-4y④，将④代人①得，12-4y-4y=6.其中正确的是_______________。

3、已知2xy7xy，则=_________. xyx2y8三、用加减消元法解下列方程组. （1）

你可以选择你喜欢的一题解答

（2）你可以选择你喜欢的一题解答

四、拓展练习

xyxy523xyxy1

32设计意图：通过练习，使学生熟练地用加减法解二元一次方程组并能在练习中摸索运算技巧，培养能力．

效果：通过本环节的练习，学生能够较熟练地运用加减法解二元一次方程组. 第五环节：课堂小结

内容：

1.关于二元一次方程组的两种解法：代入消元法和加减消元法.比较这两种解法我们发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”. 2. 用加减法解二元一次方程组的步骤：

①变形——同一个未知数的系数相同或互为相反数

②加减——消去一元

③求解——分别求出两个未知数的值

④写解——写出方程组的解

设计意图：巩固和加深对化归思想的理解和运用. 效果：学生能够在课堂上畅所欲言，并通过自己的归纳总结，进一步巩固了所学知识. 第六环节：布置作业

1、课本P-113[习题5.3] 1 2、小组合作思考 数学理解3（2）

3、阅读P112读一读，你知道计算机是如何解方程组的吗？

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