复习题主要内容及教案内容

勾股定理的应用：空间最短路径问题

课题

勾股定理的应用：空间几何最短路径问题

学情分析：

班级属于年级成绩最好的班级，整体基础扎实，有较强的创新思维，喜欢挑战一定难度的数学题，因此，本节课重在培养学生的思维，题目采取合作探究的方式开展，由学生上去讲解题目，同时借助几何画板帮助部分空间思维较弱的同学突破“如何恰当展开空间几何体”这一难点，达到整体学生基本掌握的效果。

教学目标

知识与技能

1.了解空间几何最短路径问题的一般解题思路；

2.掌握化曲为直的方法，学会恰当展开立体几何并转化为平面问题；

3.学会在实际问题中，利用勾股定理解决实际问题. 过程与方法

1.经历空间几何转化为平面几何的过程，感受不同展开方式对探究最短路径的影响，学会找到最简洁有效的展开方式；

2.体验蚂蚁爬行由圆柱侧面到立方体表面再到长方体表面情境变化的过程，在变化过程中对比总结出蚂蚁爬行最短路径问题的一般规律. 情感态度

1.在联系实际问题的过程中感受到数学学习的实用性；

2.在与他人的合作过程中，培养学生乐于分享，敢于碰撞，克服困难的品质；

3.鼓励学生做小老师，从中获得成功的体验，通过思考、表达培养学生思维. 教学重点

教学难点

教学准备与教学媒体

教法及学法

教学环节

环节一：

视

频

导

入

1.了解空间几何最短路径问题的一般解题思路；

2.学会恰当展开立体几何并转化为平面问题，利用勾股定理解决立体几何中的最短路径问题. 根据实际问题恰当展开立体几何，利用建模思想构建直角三角形；

几何画板、ppt、尺规

自主、合作、探究、体验式教学法

教学过程设计

教学活动

播放1分钟的小视频，由视频引出本节课要探讨的问题：空间几何最短路径问题，同时出示本节课的学习目标：

1.了解空间几何最短路径问题的一般解题思路；

2.掌握化曲为直的思想方法，学会恰当展开立体几何并转化为平面问题；

3.学会在实际问题中，利用勾股定理解决实际问题，体验数学学习的实用性.

环节二：

自主探究：探究圆柱侧面最短路径问题

问题情境：

有一个圆柱,它的高等于12cm,底面上圆的周长等于18cm,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少? （π取3）

在草稿本上画出一个圆柱，根据题意标出点A和点B的位置，画出点A到点B的各种可能的爬行路线，部分同学会想到平面几何中两点之（一）从圆柱侧面这一简单的情境入手，渗透化曲为直的思想方法。

（二）复习勾股定理和两点之间线段最短的公理。

（三）选择在圆柱侧面爬行而不是表面的题目，是为了突出利用这道简单的题目出发重在方法的引导而弱化题目难度的影响。

师生活动

观看小视频

设计意图

视频从平面几何中两点之间线段最短延伸到空间几何最短路径问题，再用比较幽默的语言提及涉及到蚂蚁爬行问题，从而很好的引起学生的好奇心，激发学生探索这类问题的兴趣。

教材

北师大版数学八年级上册

授教师

学校

深圳中学河源实验学校

课

吴佳玲

（1）在草稿本画一个圆柱，标出点A和点B的位置，根据题意画出点A到点B的几条路线；

说说你的依据是什么？

（教师到各组巡视学生执行任务的情况，必要时发现有画出沿着底面爬行的路线的需再次引导学生二次审题）

师：我们认真看一下题目，有哪些关键信息？

学生：点A和点B的位置，蚂蚁爬行的范围

师：在这道题当中，蚂蚁活动的范围是什么？

生：侧面

师：对，所以能不能经过底面过去（教师在黑板示意）

学生：不行

师：所以刚刚看到有些同学画出的路线当中有些是经过底面的是不对的，接下来大家再调整下自己的思路。

间点段最短进而联想到把空间几何几何，从而想到展开圆柱

做好的学生举手示意，教师根据举手情况请同学阐述思路，这里需要注意的地方是学生展开圆柱侧面的方式可能有所不同，要肯定正确性，但是教师应该可以提供多种更简单有效的展开方式，一般是找关键点，沿着关键点所在母线剪开把对应的点放在展开图的特殊位置，方便求解.

（2）找到你认为最短的路径，计算出来；转化为平面找最短路径。

环节三：

合作探究：变式训练

合作探究一：

变式1：如果圆柱换成如图的棱长为1cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？（注：每一个面均能爬行）

（一）小组合作讨论,教师巡回指导.

（二）8分钟后，由小组竞答，选派一人上来讲解本题，没有人主

动的情况下教师根据班级情况选派一人上台展示。

（一）

蚂蚁爬行的几何体从圆柱变成立方体，增加题目思考的难度，让学生在讨论的过程中学会分类讨论的思想。

（二）

让学生做小老师上台展示，是为了培养学生数学表达的能力和思维，同时学生教学生更容易懂。

（三）

借助几何画板演示六种路径，最后展开所有路径直观感受每一种路径最短路程都是一样的，正方体表面爬行本质上只有一种。

（四）

在思维培养的过程中ppt展示解答过程为考试解题格式做铺垫。

思考以下问题：

1、蚂蚁由A爬到B有几种不同方案？

2、哪种方案路径最短？最短路径为多少？

师：首先我们看一下蚂蚁爬行的范围是什么？

生：表面

师：立方体有几个面？

生：六个

师：对，前后左右上下（边说边指示）

师：那蚂蚁爬行可以沿着哪些面爬呢？

生：两个面，三个面……

师：是的，蚂蚁爬行的路线有无数条，可以沿着不同的面，甚至有的同学说可以绕着表面来回爬，但是我们只需要考察较短的走法，你们觉得他绕着三个面和绕着两个面走哪个相对来说更短？

生：两个面

师：所以我们只需要考虑沿着几个面走的情况？

生：两个（这个根据经验和动手操作一下是可以明白的）

师：那么现在你们就考虑一下沿着两个面有几种走法，最短路径是多少？

生：………（探究）

师：好，刚刚看到各个小组都有同学解出了答案，我们请一个小组的代表上来做小老师

生：……（举手竞做小老师）

师：……（请一名同学上台讲解，同时引导补充，并借助几何画板演示沿着立方体表面爬行每种路径，实际上因为立方体每个面都一样，本质上只有一种最短路径，最后ppt展示解题步骤）

几何画板展示：

Ppt展示：

【解答过程】

解:从A到B共有六种最短路径,每种路径对应最短路程相同，展开其中一种

如图所示，连接A、B，在Rt△ABC

中:AB2=12+22=5 ∴AB=

（三）8分钟后，由小组竞答，选派一人上来讲解本题，没有人主动的情况下

教师根据班级情况选派一人上台做小老师，学生每讲到一种情况，教师即板演示对应情况的展开

5

∴蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程是5。

合作探究二：

变式2：如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？

思考以下问题：

1、蚂蚁由A爬到B有几种不同方案？

2、哪种方案路径最短？最短路径为多少？

思考下沿着长方体表面爬行又有几种情况？

师：联系刚蚂蚁沿着正方体爬行的情况，时用几何画师：……..（几何画板演示对应展开图）

图。

Ppt展示解答过程

解：蚂蚁沿着长方体表面从A点爬到B点共有三种情况：

第一种情况如图：

第二种情况如图：

第三种情况如图：

师：观察解答过程我们发现，当最短的两条边合成为一条直角边时，对应直角三角形算出来的斜边最短。

环节四：

课堂小结

师生总结：

从圆柱到正方形再到长方形，蚂蚁爬行的最短路线的解题思路是什么？

1、把立体图形展开成平面图形；

2、构建以起点和终点的连线为斜边的直角三角形；

3、运用勾股定理的知识解决.

学生总结一般规律，教师补充。

在教师引导下，学生自主进行归纳，能够使所学的知识及时归纳到学生的认知结构。

教师进一步引导，提炼升华：在这过程中，主要体现了三个重要的划归思想：

划归①把一个实际问题转化为一个数学问题；

划归②把一个空间问题转化为平面问题（展开）；

划归③把一个平面问题转化为解直角三角形（用到两点之间线段最短）.

环节五：

小试牛刀

1、如图为一个矩形场地,AB=2米,AD=1米,如图堆放着一根长方体的木块,木块的棱EF与矩形场地的边AD平行,且木块的主视图是边长为0.2米的正方形,一只蚂蚁从A处到达C处需要走的最短路程是

米.

自主完成

在前面总结蚂蚁爬行最短路径问题一般解题思路的基础上，做空间与平面相结合的一道题目，进一步提高学生知识应用和迁移的能力，做到学以致用。

环节六：

联系实际

过渡语：数学来源于生活，又应用于生成都动物园大鸟笼（百鸟苑），苑内一条参观道围绕中间直径为30m ，高(20π) m的立柱形成架空参观廊桥，视野开阔，可与鸟类近距离接触，同时也节约了占地面积。已修成的这条参观道绕立柱一周，最高离地面(20π)m，每米造价约为1万元。若请你来当参观道的设计师，依然绕圆柱一周，最高离地面(20π)m，每米的造价不变，你能设计出一个最省钱的方案吗？（题目数据为了简便运算，做了适当修改调整）

(入口)AA'(出口)BP自主思考解（一）

跟实际生活联系，既体现了数学学习的实用性，又可以提高学生对数学的兴趣，由于本次课程针对的学生整体水平较高，所以适当的拔高难度，有利于培养学生的思维。

（二）

由于本环节具有一定的难度，因此可以作为最后留下悬念，在疑问中结束本节课，最后留到作业当中完成，给学生足够的时间思考。

活，下面我们来一起解决这样一个问题：

决方案

M(中点)B'

环节七：

布置作业

1.如图，圆柱底面半径为2cm，高为9πcm，A，分别是圆柱底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为多少厘米？

2.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm。如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？

3、如图，圆柱形玻璃杯，底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，PC=

2BC .一3只蚂蚁从玻璃杯外部A点出发沿着玻璃杯的表面爬行到玻璃杯内部点P的最短距离？（玻璃杯的厚度忽略不计）

《勾股定理的应用：空间最短路径问题》教学设计