二 用数学归纳法证明不等式公开课教案（教学设计）

第9课时

数学归纳法证明不等式(理科专讲)

1.通过实例了解数学归纳法的基本原理.

2.掌握应用数学归纳法证明等式、整除等问题的技巧及常规操作步骤.

3.掌握应用数学归纳法证明不等式的技巧及常规操作步骤,特别是第k步到第k+1步时的各种变化.

你有没有看到过这样壮观的场面:在自行车存放处,整齐的摆放着长长的一排自行车,突然,一阵大风袭来,第一辆自行车倒下了,在第一辆自行车倒下时碰到了第二辆,于是第二辆也倒下了;而第二辆倒下时又碰到了第三辆,第三辆也倒下了……这样连续下去,直到最后一辆自行车也倒下.请分析:在这个“倒自行车”的过程中,有几个主要步骤?

问题1:上述情境分两步,第一步:第1辆自行车倒下,第二步:前一辆倒下后一辆一定倒下.类似于数学归纳法的两个步骤,什么是数学归纳法?数学归纳法:设{pn}是一个与自然数相关的命题集合,如果(1)证明起始命题p0成立;(2)在假设pk成立的前提下,推出

也成立,那么可以断定,{pn}对一切正整数(或自然数)成立.

问题2:数学归纳法证题的步骤

(1)(

)证明当n=n0时,命题成立.

(2)(

)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时,命题成立,证明当n=k+1时,命题也成立.

只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n成立.

问题3:贝努力不等式

如果x是实数,且x>-1,x≠0,n为大于1的自然数,那么有

.

问题4:归纳、猜想和证明

在数学中通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的,也可能是错误的,这种不严格的推理方法称为不完全归纳法.不完全归纳法得出的结论,只能是一种猜想,其正确与否,必须进一步检验或证明,经常采用数学归纳法证明.不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法.

1.用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的过程中,第二步当n=k时等式成立,则当n=k+1时应得到(

).

A.1+2+22+…+2k-1=2k+1-1 B.1+2+22+…+2k+2k+1=2k-1+2k+1

C.1+2+22+…+2k-1=2k-1 D.1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1 2.用数学归纳法证明1+++…+

n>1)时,第一步证的不等式是(

).

A.1<2 B.1+<2 C.1++<2

D.1+<2

3.观察下列式子:1+

<,1+

+

<,1+

+

+

<,…,则可归纳出

.

4.利用归纳法证明等式:1·(n2-12)+2·(n2-22)+…+n·(n2-n2)=n2(n-1)(n+1).

用数学归纳法证明等式

是否存在常数a,b,c使得等式1·22+2·32+…+n·(n+1)2=明你的结论.

用数学归纳法证明整除性问题

用数学归纳法证明:72n-42n-297能被264整除.

用数学归纳法证明不等式

设实数c>0,整数p>1,n∈N*.

(1)证明:当x>-1且x≠0时,(1+x)p>1+px; (an2+bn+c)对于一切正整数n都成立?并证

(2)数列{an}满足

-

a1>

,an+1=an+

,

-

证明:an>an+1>

.

用数学归纳法证明下面的等式:12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1

求证:3(2+7k)(其中k∈N*)能被9整除.

设an=

+

+…+

(n∈N*),证明:n(n+1)

.

1.对于用数学归纳法证明不等式

≤n+1(n∈N+),某学生的证明过程如下: (1)当n=1时,

≤1+1,不等式成立.

(2)假设n=k(k∈N+)时,不等式成立,即

≤k+1.

则当n=k+1时,

=

<

=

=(k+1)+1.

所以当n=k+1时,不等式成立.

上述证法(

).

A.过程全部正确 B.n=1验得不正确

C.归纳假设不正确

D.从n=k到n=k+1的推理不正确

,则当

2.用数学归纳法证明:1+2+3+…+n2=A.k2+1 C.B.(k+1)2

n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上(

).

D.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2

3.某种平面分形图如图所示,一级分形图是一个边长为1的等边三角形(图(1));二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分,并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形,然后去掉底边(图(2));将二级分形图的每条线段三等边,重复上述的作图方法,得到三级分形图(图(3)),…,重复上述作图方法,依次得到四级、五级、…、n级分形图.则n级分形图的周长为

.

4.用数学归纳法证明:1++++…+

≤n.

-

已知函数f0(x)= (x>0),设fn(x)为fn-1(x)的导数,n∈N*.

证明:对任意的n∈N*,等式|nfn-1()+fn()|=都成立.

考题变式(我来改编):

第9课时

数学归纳法证明不等式(理科专讲)

知识体系梳理

问题1:pk+1

问题2:(1)归纳奠定

(2)假设与递推

问题3:(1+x)n>1+nx

基础学习交流

1.D

2.C

3.1+

+

+…+

<

(n∈N*)

4.略

重点难点探究

探究一:【解析】假设存在符合题意的常数a,b,c,

在等式1·22+2·32+…+n·(n+1)2=

2(an+bn+c)中,

令n=1,得4=(a+b+c),①

令n=2,得22=(4a+2b+c),②

令n=3,得70=9a+3b+c,③

由①②③解得a=3,b=11,c=10,

于是,对于n=1,2,3都有1·22+2·32+…+n·(n+1)2= 2(3n+11n+10)(*)成立.

下面用数学归纳法证明:对于一切正整数n,(*)式都成立.

①当n=1时,由上述知(*)成立.

②假设当n=k(k≥1)时,(*)成立,即1·22+2·32+…+k·(k+1)2=那么当n=k+1时,

1·22+2·32+…+k·(k+1)2+(k+1)·(k+2)2

2(3k+11k+10),

= 2(3k+11k+10)+(k+1)(k+2)2

2(3k+5k+12k+24)

2(3k+17k+24)

[3(k+1)2+11(k+1)+10],

===由①②可知,当n=k+1时,(*)式也成立.

综上所述,当a=3,b=11,c=10时上述等式对于一切正整数n都成立.

【小结】确定由n=k到n=k+1时,等式左边的式子发生了怎样的改变,与原来的式子之间有什么关系是完成递推的关键.另外,一定要把所得的式子化成和等式右侧完全一致的形式,以说明n=k+1时命题也成立.

探究二:【解析】①当n=1时,72n-42n-297=49-16-297=-264,能被264整除.

②假设当n=k时命题成立,即72k-42k-297能被264整除,

则当n=k+1时,72(k+1)-42(k+1)-297=49×(72k-42k-297)+33×42k+48×297

=49×(72k-42k-297)+33×8×(24k-3+6×9)

=49×(72k-42k-297)+264×(24k-3+6×9),

也能被264整除.

由①②可知,命题正确.

【小结】利用数学归纳法证明整除问题,关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变换的方法,去凑假设、凑结论,从而能够利用归纳假设.

探究三:【解析】(1)用数学归纳法证明如下.

①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立.

②假设当p=k(k≥2,k∈N*)时,不等式(1+x)k>1+kx成立.

当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x.

所以当p=k+1时,原不等式也成立.

综合①②可得,当x>-1,x≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x)p>1+px均成立.

(2)先用数学归纳法证明an>

.

a1>

成立.

ak>

成立.

①当n=1时,由题设知②假设当由an+1=n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式

-

-

an+

易知an>0,n∈N*.

-

-

=+

=1+

- .

- <0.

当n=k+1时,

ak>

>0由得-1<-<

由(1)中的结论得( )p=

-

>1+p·

- =

.

因此

>c,即ak+1>

,

所以当n=k+1时,不等式an>

也成立.

an>

均成立.

综合①②可得,对一切正整数n,不等式再由

=1+

- 可得 <1,即an+1

综上所述,an>an+1>

,n∈N*.

【小结】凡是与自然数有关的命题都可以用数学归纳法进行证明,证明过程的关键是利用归纳假设证明当n=k时命题成立.而对于不等式的证明过程中由n=k成立到n=k+1成立,一般要进行适当地放缩,要注意观察,可以结合结论进行添加项.

思维拓展应用

应用一:(1)当n=1时,左边=12=1,右边=(-1)0· =1,

∴原等式成立.

(2)假设当n=k(k∈N*,k≥1)时,等式成立,

即有12-22+32-42+…+(-1)k-1k2=(-1)k-1 .

则当n=k+1时,则有12-22+32-42+…+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2

=(-1)k-1 +(-1)k(k+1)2=(-1)k[-k+2(k+1)]=(-1)k,∴n=k+1时,等式也成立,

.

由(1)(2)得对任意n∈N*有12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1

应用二:(1)当k=1时,显然只有3×(2+7k)=27能被9整除.

(2)假设当k=n(n∈N*)时,命题成立,即3×(2+7n)能被9整除,那么当k=n+1时,则3×(2+7n+1)=21×(2+7n)-36.

这就是说,k=n+1时命题也成立.

由(1)(2)可知,命题对任何k∈N*都成立.

应用三:(1)当n=1时,an=

,n(n+1)=,

(n+1)2=2,∴n=1时不等式成立.

(2)假设当n=k时,不等式成立,即k(k+1)

当n=k+1时,k(k+1)+

(k+1)2+

k(k+1)+

,

>k(k+1)+(k+1)

=(k+1)(k+2),

(k+1)2+

=(k+1)2+

<(k+1)2+(k+)=(k+2)2,所以(k+1)(k+2)

即n=k+1时不等式也成立.

综上所述,对所有的n∈N*,不等式n(n+1)

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1.D

2.D

3.3·()n-1

4.略

全新视角拓展

略