小结教案设计（一等奖）

2．3离散型随机变量的均值与方差

2．3．1离散型随机变量的均值（教学设计）

教学目标：

知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．

过程与方法：理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξB（n,p），则Eξ=np”.能熟

练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美

,体现数学的文化功能与人文

价值。 教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念

教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望

教学过程：

一、复习回顾：

1、离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量

2、

分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，

ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为P(xi)pi，则称表

ξ

P x1

P1

x2

P2

…

…

xi

Pi

…

…

为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列

3、离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

kknk（k＝0,1,2,…，n，q1p）．

Pn(k)Cnpq，于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

ξ

0 00nCnpq

1 …

k …

n nn0Cnpq

P 11n1Cnpq

…

kknkCnpq

…

称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记kknkCnpq＝b(k；n，p)．

*4、

离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k次试验时事件A发生记为Ak、事件A不发生记为Ak，P(Ak)=p，P(Ak)=q(q=1-p)，那么

P(k)P(A1A2A3Ak1Ak)P(A1)P(A2)P(A3)P(Ak1)P(Ak)qk1p（k＝0,1,2,…，

q1p）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

ξ

1 2 3 …

k …

…

P p

pq

q2p

…

qk1p

称这样的随机变量ξ服从几何分布

记作g(k，p)= qk1p，其中k＝0,1,2,…，

q1p．

二、师生互动，新课讲解：

问题1：某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？

解一：X11112223342

102 0.3 3 0.2 4 0.1 解二：把环数看成随机变量的概率分布列：

X P 1 0.4 X143212342

10101010问题2：某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？

111解：

X18243623(元/kg)236

1、均值或数学期望:

一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

ξ

P x1

p1

x2

p2

…

…

xn pn

…

…

则称

Ex1p1x2p2…xnpn… 为ξ的均值或数学期望，简称期望．

2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1p2…pn，则有p1p2…pn称为平均数、均值

11，E(x1x2…xn)，所以ξ的数学期望又nn4. 均值或期望的一个性质:若ab(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为

ξ

η

P x1

x2

…

…

…

xn …

…

…

ax1b

p1

ax2b

p2

axnb

pn

于是E(ax1b)p1(ax2b)p2…(axnb)pn…

＝a(x1p1x2p2…xnpn…)b(p1p2…pn…) ＝aEb，

由此，我们得到了期望的一个性质:E(ab)aEb

5．若X服从两点分布，则E(X) =p 6.若ξB（n,p）（二项分布），则Eξ=np 证明如下：

kkkknk∵

P(k)Cnp(1p)nkCnpq，

00n11n122n2kknk∴

E0×Cnpq＋1×Cnpq＋2×Cnpq＋…＋k×Cnpq＋…＋n×nn0Cnpq．

又∵ kCnkkn!n(n1)!k1nCn1，

k!(nk)!(k1)![(n1)(k1)]!11n200n1k1k1(n1)(k1) ∴

Enp(Cn＋…＋Cn＋…＋q1p1pq＋Cn1pqn1n10Cnq)np(pq)n1np．

1p故

若ξ～B(n，p)，则Enp．

例题选讲：

例1（课本P61例1）

篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望

解：因为P(1)0.7,P(0)0.3，

所以E10.700.30.7

变式训练1：.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．

解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为

ξ

1 2 3 4 5 6 P 所以

1

61

61

61

61

61

6111111E1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×

6666661＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5．

6抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．

例2（课本P62例2）

一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分

学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望

解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是,，则~ B（20,0.9）,~B(20,0.25), E200.918,E200.255

由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5

所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：

E(5)5E()51890,E(5)5E()5525

变式训练2：一袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是 （用数字作答）

解：令取取黄球个数 (=0、1、2)则的要布列为



p 0 1 2 33

105331于是 E（）=0×+1×+2×=0.8 105101]

10故知红球个数的数学期望为1.2 例3（课本P63例3）

根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0. 01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3 种方案：

方案1：运走设备，搬运费为3 800 元．

方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元．但围墙只能防小洪水．

方案3：不采取措施，希望不发生洪水．

试比较哪一种方案好．

解：用X1

、X2和X3分别表示三种方案的损失．

采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3 800 元，即

X1 = 3 800 .

采用第2 种方案，遇到大洪水时，损失2 000 + 60 000=62 000 元；没有大洪水时，损失2 000 元，即

62000，有大洪水；

X2=2000,无大洪水.同样，采用第

3 种方案，有

60000，有大洪水；X3=10000,有小洪水；

0,无洪水.于是，

EX1＝3 800 ,

EX2＝62 000×P (X2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X2 = 2 000 )

= 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 ,

EX3 = 60000×P (X3 = 60000) + 10 000×P(X3 =10 000 ) + 0×P (X3 =0)

= 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 .

采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2 .

值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案

2 将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案

2 也不一定是最好的．

课堂练习（课本P64 练习NO：1；2；3；4；5）

三、课堂小结，巩固反思：

(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；

(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：

①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；

②求ξ取各个值的概率，写出分布列；

③根据分布列，由期望的定义求出Eξ

公式E（aξ+b）= aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np

四、课时必记：

1、一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

ξ

P x1

p1

x2

p2

…

…

xn pn

…

…

则均值（或数学期望）：Ex1p1x2p2…xnpn…

2、若X服从两点分布，则E(X) =p 3、若ξB（n,p）（二项分布），则Eξ=np

4、若ab，则EaEb

五、分层作业：

A组：、

1、课本P68习题2.3

A组

2、3、4

2、篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求

⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；

⑵他罚球2次的得分η的数学期望；

⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．

解：⑴因为P(1)0.7，P(0)0.3，所以

E1×P(1)＋0×P(0)0.7

⑵η的概率分布为

η

0 1 2 10.32

C20.70.3

0.72

P 所以 E0×0.09＋1×0.42＋2×0.98＝1.4．

⑶ξ的概率分布为

ξ

０

１

2 3

P 0.33

210.720.3

C30.70.32

C30.73

所以 E0×0.027＋1×0.189＋2×0.98＝2.1. 教学反思：

(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；

(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：

①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；

②求ξ取各个值的概率，写出分布列；

③根据分布列，由期望的定义求出Eξ

公式E（aξ+b）= aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np 。