阅读与思考 错在哪儿教学内容

《错在哪儿》教学案例

教材分析：

本节课是人教版A版必修5第五章《不等式》的阅读与思考，在完成了第五章3.1《不等关系与不等式》,3.2《一元二次不等式及其解法》，3.3《二元一次不等式（组）与简单线性规划问题》教学内容后设置的阅读材料。旨在进一步辨析不等式的基本性质，理解二元一次不等式表示的平面区域，掌握用图解法解决线性规划问题，并且会用代数方法解决目标函数取值范围问题。培养学生多角度思考问题的能力；引导学生进一步理解体会数形结合的数学思想；激发学生探索数学知识的内涵的兴趣，在质疑和解惑的过程中收获更深刻的知识；拓宽学生的思维宽度，能高屋建瓴，站在高中数学代数与几何的高度俯瞰数学问题，多角度思考，多维度解决问题，真正将知识灵活应用于数学问题的解决中。

学情分析：

本节课之前，学生已经学习了3.1《不等关系与不等式》与《二元一次不等式（组）与简单线性规划问题》，会利用不等式的基本性质求简单的代数式的取值范围，会利用图解法解决线性规划问题。但是对于性质的使用，概念的辨析，还不能达到举一反三，熟练应用的程度。

设计思想：

本节课从一道常见的求函数式的取值范围问题导入，通过三种不同解法的辨析、对比，让学生在讨论、比较中发现问题，总结规律，加深对知识的理解，提升自我的数学素养。特别是培养学生勇于探索，追寻知识的根源和本质的数学精神；培养学生多角度思考问题的数学能力；培养学生重视数学概念学习，重视数形结合解题方法的数学学习习惯。

教学目标：

知识与技能：掌握不等式的基本性质，掌握用方程的思想解决函数式范围问题，掌握用图解法解决线性规划问题。

过程与方法：本节课以一道不等式范围的题目导入新课，其次结合学生的实际情况,采用“提出问题—引发思考—探索猜想—总结规律—反馈训练”的教学过程展开教学。期望通过学生给出的三种解法辨析不等式基本性质，引导学生分析探索正确的解题方法，特别是让学生深刻体会在解题过程中体现的方程思想和数学结合思想的应用。在教学中课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来。

情感、态度与价值观

培养学生的质疑和探索精神，激发学生学习数学的兴趣，体会多角度解决数学问题的数学美，同时培养学生运用图形、数学符号语言表达题意和应用方程思想和数形结合思想解决数学问题的能力。

教学重点：

用几何法和代数法解决有限制条件的函数式的取值范围问题。

教学难点：

分析错解，借助几何图形和线性规划知识，分析对比探索错解原因。

教学设计

一、课题导入

我们在《不等式》这一章里学习了不等式的性质，二元一次不等式与线性规划问题等知识，解决过很多关于函数式范围的确定问题，同学们掌握得怎么样了呢？我们来看一道题。

二、新课讲授

已知

求

的取值范围。

师：请同学们运用所学知识求解本题。

学生独立思考，展示学生手稿。

生甲：

解：

①+②得

0

2x

即0

③

②

(-1),得

④

①

+④,得

0

⑤

代入4x+2y,得

0

生乙：设4x+2y=A(x+y)+B(x-y),则

②

①②

①

4x+2y=(A+B)x+(A-B)y

且已知3

①

-1

②

①+②得

2

即 2

生丙:

解：原不等式组等价于

求Z=4x+2y的取值范围。

作出可行域如图

作出初始直线

:4x+2y=0 平移直线

经过点B时，Z取最小值，经过点D时，Z取最大值。

由

得B(0,1)

由

得 D（2,1）

把 B(0,1)代入Z=4x+2y得，4x+2y的最小值为2，

把D(2,1)代入Z=4x+2y得，4x+2y的最大值为10。

因此2

师：为什么两种解法的结果不一样呢？你能解释出现这种情况的原因吗？

学生分小组论，以小组为代表给出解释。

生:甲同学的方案看上去好像没有问题，实际上x和y并不是相互独立的关系，由图中可以看出，x 和y是由不等式组决定的相互制约的关系，他们只能在阴影部分取值。X取到最小值0时，y并不能取到最小值0，因此4x+2y也就不能取到最小值0，同理X取到最大值2时，y并不能取到最大值2，因此4x+2y也就不能取到最大值12。实际上甲同学求出的x和y的取值范围在图中红色正方形内，扩大了原不等式组确定的x,y的范围。因此求得的4x+2y的范围也扩大了。

师：该同学的解释非常精彩，我们在应用不等式基本性质求最值时一定要考虑x和y的相互制约的关系。

师：乙同学同样是应用不等式的基本性质求取值范围，为什么他的解法师正确的呢？

生：因为他整体上把握了题目中x和y的相互制约的关系，因而得出的范围是正确的。

师：很好，乙同学为了整体保持x和y的相互制约的关系，应用了方程的思想，将所求函数Z=4x+2y用

来表示，非常巧妙，充分体现了整体思想及方程思想在解题中的应用。

师：同学们对丙同学的解法有异议吗？

生：没有。

师：以上三位同学的解法，乙同学和丙同学的解法都是正确的，他们各自的优缺点是什么？

生：乙同学的用代数的方法，通过解方程和不等式的性质解出范围，过程简洁，不用画图，但几何意义不够明了，不能直接表达x,y的约束关系，用这个方法无法很好地解释甲同学的错误所在。

生：丙同学用图解法，利用解决线性规划问题的方法求出范围，直观明了，图形上很好地反映x,y的互相制约关系，也能很好地解释甲同学的错误原因。只是作图比较繁琐。

师：几位同学思考问题都非常深刻，能找到数学问题的本质，并且能从代数和几何两个角度来分析点评解题方法，有高度，有角度，非常棒！

三、课堂练习

1、

设

，

，

,那么2

的取值范围为

2、

已60

则x-y 的取值范围是

3、

已知-1

且

则 x+3y的取值范围是 四、作业布置

已知-1

用两种方法求Z=2x-3y的取值范围，并写出解答过程。

五、课堂小结

本节课我们分析了一道求函数取值范围问题的解法，通过三种不同解法的辨析、对比，进一步复习巩固了不等式的基本性质，介绍了用方程的思想求函数式范围的方法，复习了用图解法求解简单线性规划问题的基本步骤。重点强调了在求范围时应注意变量间的相互制约的关系，不能随意扩大或缩小范围。