小结优秀教学设计说课稿

第二章

随机变量及其分布列

2.3.1离散型随机变量的均值

一、教学目标：

知识与技能：

了解离散型随机变量的均值或数学期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或数学期望．

过程与方法：

理解公式“E(aX＋b)＝aE(X)＋b”，以及“若X～B(n，p)，则E(X)＝np”，能熟练地应用它们求相应的

离散型随机变量的均值或数学期望．

情感、态度与价值：

让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神. 二、教学重点、难点

重点：离散型随机变量的均值或数学期望的概念．

难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或数学期望．

三、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．

“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线. “抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点. 学法：突出探究、发现与交流．

四、教学过程

（一）温故知新

1．分布列：设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，

X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率为P(X＝xi)＝pi，则称表

X P

为随机变量X的概率分布，简称X的分布列．

1 x1

p1

x2

p2

…

…

xi

pi

…

…

xn

pn

2．分布列的两个性质：(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)pi＝1. i＝1n教师指出：前面，我们认识了随机变量的分布列．对于离散型随机变量，确定了它的分布列，可以方便地得出随机变量的某些特定的概率，也就掌握了随机变量取值的统计规律．但在实际上，分布列的用途远不止于此，

提出问题：已知某射手射击所得环数X的分布列如下

X P 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 10 0.22 设计意图：抛砖引玉，引出课题．

教师指出：在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或数学期望．

提出问题：如何估计该射手n次射击的平均环数，还需知道哪些信息？如何得到？

学情预测：学生联系以前所学样本平均数的求法，自然想到需要估计各射击成绩的项数．

活动结果：根据射手射击所得环数X的分布列，我们可以估计，在n次射击中，预计大约有

P(X＝4)×n＝0.02n

次得4环；P(X＝5)×n＝0.04n

次得5环；…………

P(X＝10)×n＝0.22n

次得10环．

故n次射击的总环数大约为

4×0.02×n＋5×0.04×n＋…＋10×0.22×n＝(4×0.02＋5×0.04＋…＋10×0.22)×n，

从而，预计n次射击的平均环数约为4×0.02＋5×0.04＋…＋10×0.22＝8.32. 这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．

(二)

探究新知

推而广之，对于任一射手，若已知其射击所得环数X的分布列，即已知各个P(X＝i)(i＝0,1,2，…，10)，我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数：

0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋…＋10×P(X＝10)．

接下来我们一起学习一下均值的定义

1．均值(或数学期望)：一般地，若离散型随机变量X的分布列为

X P

2 x1

p1

x2

p2

…

…

xi

pi

…

…

xn

pn

则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为X的均值或数学期望．

※教师补充：(1)区别ξ与Eξ.

随机变量ξ是可变的，可取不同的值；

均值Eξ是不变的，它是离散型随机变量的一个特征数，由ξ的分布列唯一确定，它反映了ξ取值的平均水平．

(2)区别随机变量的均值与相应数值的算术平均数．

均值表示随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义上的平均值，不同于相应数值的算术平均数．

章首问题回顾：商场内的促销活动可获得经济效益2万元；

商场外的促销活动，如果不遇雨天则带来经济效益10万元，

如果遇到雨天则带来经济损失4万元．

假设国庆节有雨的概率是40%，请问商场应该选择哪种促销方式较好？(商场外) 解：商场外平均效益为10×P(ξ＝10)＋(－4)×P(ξ＝－4)＝10×0.6－4×0.4＝4.4. 提出问题：离散型随机变量X的数学期望E(X)与x1，x2，…，xi，…，xn的平均数

1x＝(x1＋x2＋…＋xn)×，有何关系？

n活动结果：一般地，在有限取值的离散型随机变量X的概率分布中，若p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p211＝…＝pn＝，E(X)＝(x1＋x2＋…＋xn)×，所以此时X的数学期望就是x1，x2，…，xi，…，xn的平均数．

nn继续探究：根据以前所学我们知道，若一组数据xi(i＝1,2，…，n)的平均数为x，那么另一组数据axi＋b(a、b是常数且i＝1,2，…，n)的平均数为ax＋b. 类似地，我们可以联想得到离散型随机变量X的均值也具有类似的性质：

2．均值的一个性质：若Y＝aX＋b(a、b是常数)，X是随机变量，则Y也是随机变量，它们的分布列为：

X Y P

于是E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn

＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，

3 x1

ax1＋b p1

x2

ax2＋b p2

…

…

…

xi

axi＋b pi

…

…

…

xn

axn＋b pn

由此，我们得到了期望的一个性质：E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

运用新知

（三）应用巩固

例1篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的均值．

解：因P(ξ＝1)＝0.7，P(ξ＝0)＝0.3，所以Eξ＝1×0.7＋0×0.3＝0.7. 活动结果：此为两点分布，可猜想当X服从两点分布时，有E(X)＝p. 继续发问：两点分布是一个特殊的二项分布，那么一般地，若X～B(n，p)，则E(X)＝？

活动结果：若X～B(n，p)，则E(X)＝np.证明如下：设1－p＝q. knkknk∵P(X＝k)＝Ck＝Ck，

np(1－p)npq－－00n1n12n2knkn0∴E(X)＝0×Cnpq＋1×C1＋2×C2＋…＋k×Ck＋…＋n×Cnnpqnpqnpqnpq. －－－n！n·(n－1)！k－1又∵kCk＝k·＝＝nCn－1，

nk！(n－k)！(k－1)！[(n－1)－(k－1)]！0n11n21k1(n∴E(X)＝np(C0＋C1＋…＋Ckqn－1pqn－1pqn－1p－－－－－1)－(k－1)1n10＋…＋Cnq)＝np(p＋q)n1＝np. n－1p－－－故若X～B(n，p)，则E(X)＝np. 例2袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．

(Ⅰ)求ξ的分布列，均值；

(Ⅱ)若η＝aξ＋4，Eη＝1，求a的值．

解：(Ⅰ)ξ的分布列为：

ξ

P 0 1

21 1

202 1

103 3

204 1

5111313ξ的均值：Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. 22010205233(Ⅱ)Eη＝aEξ＋4＝1，又Eξ＝，则a×＋4＝1，∴a＝－2. 22例3为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程

4

111三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．

236(Ⅰ)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；

(Ⅱ)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望．

解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P(A111i)＝2，P(Bi)＝3，P(Ci)＝6. (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率

P＝3！P(A11111B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×2×3×6＝6. (2)解法1：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B(3，13)，且ξ＝3－η.所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C313()3＝1，P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C212223273(3)(3)＝9，

P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C1123(2402383)(3)＝9，P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C3(3)＝27. 故ξ的分布列是

ξ

0 1 2 3 P 124827

9

9

27

ξ的数学期望Eξ＝0×127＋1×29＋2×489＋3×27＝2. 解法2：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件Di，

i＝1,2,3.由已知，D1121，D2，D3相互独立，且P(Di)＝P(Ai＋Ci)＝P(Ai)＋P(Ci)＝2＋6＝3. 所以ξ～B(3，2)，即P(ξ＝k)＝Ck2k13－k33(3)(3)，k＝0,1,2,3. 故ξ的分布列是

ξ

0 1 2 3 P 12827

499

27

ξ的数学期望Eξ＝0×127＋1×29＋2×489＋3×27＝2. 【变练演编】

5

有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢8元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢．这场赌博对你是否有利？

1111解：Eξ＝×8＋×(－3)＋×0＝－. 6236对你不利，劝君莫赌博！

变式：准备一个布袋，内装6个红球与6个白球，除颜色不同外，六个球完全一样．每次从袋中摸6个球，输赢的规则为：

6个全红

赢得100元

5红1白

赢得50元

4红2白

赢得20元

3红3白

输100元

2红4白

赢得20元

1红5白

赢得50元

6个全白

赢得100元

这一次你动心了没有？

略解：

结果

出现的概率

6个全红

0.1%

5红1白

3.9% 4红2白

24.4%

3红3白

43.2% 2红4白

24.4%

1红5白

3.9% 6个全白

0.1% （四）当堂达标

1．随机地抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．

解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为

ξ

P

111111所以Eξ＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×

6666661＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5. 6抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．

2．某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4 km时租车费为10元，若行驶路程超出4 km，则按每超出1 km加收2元计费(超出不足1 km的部分按1 km计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成1 1

62 1

63 1

64 1

65 1

66 1

6

6

行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按1 km路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η.

(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；

(Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为

ξ

P

求所收租车费η的数学期望．

(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15 km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟？

解：(Ⅰ)依题意得η＝2(ξ－4)＋10，即η＝2ξ＋2；

(Ⅱ)Eξ＝15×0.1＋16×0.5＋17×0.3＋18×0.1＝16.4.∵η＝2ξ＋2，

∴Eη＝2Eξ＋2＝34.8.故所收租车费η的数学期望为34.8元．

(Ⅲ)由38＝2ξ＋2，得ξ＝18,5×(18－15)＝15. 所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟．

五、小结

1．离散型随机变量的均值，反映了随机变量取值的平均水平；

2．求离散型随机变量ξ的均值的基本步骤：

①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；

②求ξ取各个值的概率，写出分布列；

③根据分布列，由均值的定义求出Eξ.公式E(aξ＋b)＝aEξ＋b，以及服从二项分布的随机变量的均值

Eξ＝np. 六、作业

1.课时检测

七、教学反思：

本节课在情境创设，例题设置中注重与实际生活联系，让学生体会数学的应用价值，在教学中注意观察学生是否置身于数学学习活动中，是否兴趣浓厚、探究积极，并愿意与老师、同伴交流自己的想法．通过学生回答问题，学生举例，归纳总结等方面反馈学生对知识的理解、运用．教师根据反馈信息适时点拨，同时从新课标评价理念出发，鼓励学生发表自己的观点、充分质疑，并抓住学生在语言、思想等方面的亮点给予表扬，树立自信心，帮助他们积极向上．

7 15 0.1 16 0.5 17 0.3 18 0.1