复习参考题第二课时教学实录

《不等式复习》教学设计

一．

不等式的性质

（1）

对称性

（2）

传递性

（3）

可加性

（4）

乘法性质

（5）

乘方性

二．一元二次不等式

一元二次不等式题型解析：

1、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．

2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

判别式b4ac

20

0

0

二次函数yax2bxc

a0的图象

有两个相异实数根

一元二次方程axbxc0

2

a0的根

ax2bxc0

一元二次不等式的解集

b

x1,22a有两个相等实数根x1x2x1x2

b

2a没有实数根

xxx或xx12a0

ax2bxc0

bxx

2aR

a0

三．基本不等式

xx1xx2





a2b21.（1）若a,bR，则ab2ab (2)若a,bR，则ab（当且仅当ab时取“=”）

2ab**2. (1)若a,bR，则）

ab (2)若a,bR，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”2221

ab (当且仅当ab时取“=”(3)若a,bR，则ab）

2*23.若x0，则x112 (当且仅当x1时取“=”）;若x0，则x2 (当且仅当x1时取“=”）

xx若x0，则x12即x12或x1-2 (当且仅当ab时取“=”）

xxx3.若ab0，则ab2 (当且仅当ab时取“=”）

ba若ab0，则ababab）

2即2或-2 (当且仅当ab时取“=”bababaab2a2b24.若a,bR，则(（当且仅当ab时取“=”）

)22最值问题

例1. 当时，求yx(82x)的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号 当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。

练习1设0x3，求函数y4x(32x)的最大值。

2232x32x9解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)2

222当且仅当2x32x,即x330,时等号成立。

42例2

已知x,yR，且满足y>0，解：因为x>0，所以故xy的最大值位3. xy1，则xy的最大值为

________。

34xyxy23434xyxyxyxy3.，(当且仅当，y=8时取等号)，1，即x=6，于是3334例3已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（

）

A. 3

B.

4

C.

911

D.

222x2y，

解：

因为x>0，y>0，所以x2y8x(2y)82整理得x2y4x2y320

22

即x2y4x2y80，又x2y0，x2y4

等号当且仅当x2y2时成立，故选择答案B。

练习2若正实数x，y

满足xy2xy6

，则xy

的最小值是

。（变式：求2x+y的最小值为______）

证明不等式问题

例1．已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca

练习1正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

例1：例1 若0＜a＜1，则不等式(x－a)(x－1a)＜0的解是

A．a＜x＜1aC．x＞1或x＜a

aB．1

a＜x＜aD．x＜1a或x＞a

解 ∵0＜a＜1，∴a＜11a，解应当在“两根之间”，得a＜x＜a．

选A． 练习1不等式x2ax12a20a0的解集是

A．3a,4a

B．4a,3a

C．3,4

D．2a,6a

例2若ax2＋bx－1＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＝________，b＝________．

解

根据题意，－1，2应为方程ax2＋bx－1＝0的两根，则由韦达定理知

b(a1)21得

1a(1)×22a12，b12．

练习2已知不等式ax2bx20的解集为x1x123，求a、b的值．

练习3若关于x的不等式mx28mx210的解集为x7x1，则实数m的取值是（3 ）.

(A) 1 (B) 3 （C）7 （D）

8

例3已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2≤0}，若BA，求a的范围．

解

易得A＝{x|1≤x≤4} 设y＝x2－2ax＋a＋2(*) (1)若B＝，则显然BA，由Δ＜0得

4a2－4(a＋2)＜0，解得－1＜a＜2．

(2)若B≠，则抛物线(*)的图像必须具有图1－16特征：

应有{x|x1≤x≤x2}{x|1≤x≤4}从而

12－2a·1＋a＋2≥02184－2a·4＋a＋2≥0 解得12≤a≤

72a1≤≤42综上所述得a的范围为－1＜a≤18．

7练习4设集合x1x2，xxa0，若，那么实数a的取值范围是（

）

A．1,

B．2,

C．,2

D．1,

例4不等式|x2－3x|＞4的解集是________．

分析

可转化为(1)x2－3x＞4或(2)x2－3x＜－4两个一元二次不等式．由(1)可解得x＜－1或x＞4，(2)．答

填{x|x＜－1或x＞4}．

练习5不等式x13x0的解集是（

）

A．,

13B．,011

C．0,,

33D．0,

13例5若关于x的不等式x2axa0的解为,，则实数a的取值范围是 练习6不等式mx2mx20的解集为R，则实数m的取值范围为

；

练习7若不等式x2mx10的解集为R，则m的取值范围是（

）

A．R

B．2,2

C．,22,

13D．2,2

例6不等式ax2bx20的解集是xx，则ab（

）

4 12

A．14

B．14 C．10 D．10

练习8已知不等式x2pxq0的解集是x3x2，则pq________．

5