复习参考题优秀获奖教案

聚焦错解随机变量

概率作为高中数学一个重要的知识点，高考中考查的力度很大。它以古典概型，几何概型，条件概率作为基础，主要题型集中于求解概率和分布列。对随机变量的意义理解不清和错解随机变量的取值概率是导致失误的两个重要原因。随机变量的正确理解是正确求解概率和分布列的第一步，求解概率和分布列的关键是对随机变量取某值时的正确分解，把复杂的事件分解成若干个简单事件的和事件，然后再利用互斥事件和独立事件的概率公式进行求解计算。下面列出概率分布列中几个常见的典型错例。

一、

审题不清

例1. 某选手欲参加某电视类节目，但必须通过一项包含5道试题的达标测试，测试规定：对于提供的5道试题，参加者答对3题即通过；为节省测试时间，同时规定：若答题不足5道已通过，则停止答题；若答题不足5道题，但能确定不能通过，也停止答题。假设该选手答对测试所提供5题的每一道试题概率皆为2，且每次答题互不影响。

3（1）

求该选手恰好答完4题而通过的概率；

（2）

设测试中该选手答题次数记为，求的分布列及数学期望。

分析：此题第（1）问中学生容易理解为4道题中任意答对3道即可，其中前3道答对不符合，此种情况答对3道即停止，故恰好答完4道通过中第4道必须答对，前3道中任选2道答对才是正

确的.第（2）问中答题次数为3,4,5.其中P(4),P(5)易出错，P(4)很可能沿用（1）中的答案，它实际上还包含答4道没通过的情况. P(5)只要前4道中2道答对2道答错就行，不必纠结第5道的对错. 解：（1）该选手恰好答题4道而通过的概率PC3()3（2）由题意可知，可取的值有3,4,5. P(3)()3()3,

P(5)C4()2()2 P(4)1的分布列为



132221338.

2713231323138,

27810.

2727 3

13 4 5 8

2710

271108107所以的数学期望为E()345

3272727 P 例2. 某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150m处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200m处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，且比赛结束。已知射手甲在100m处击中目标的概率为，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的。

（1）

求射手甲在这次射击比赛中命中目标的概率；

12

（2）

求射手甲在这次射击比赛中得分的数学期望。

分析：此题中只有第一次射击命中的概率，要抓住关键条件“命中率与目标的距离的平方成反比”以及第一次命中的概率，求出反比例系数，即命中率与距离的平方的关系式.若审题不清，则难以下手.再将“三次射击中击中目标”分成三个互斥事件之和。或用间接法，用1减去三次均未击中目标的概率.第（2）问建立在（1）的基础之上，若（1）中三次概率计算正确，（2）一般不会出错. 解：（1）记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A,B,C,三次均未击中目标为事件D,依题意P(A),设在xm

处击中目标的概率为P(x),则P(x)k5000,即P(x)k1k，且，

x221002125000,

2x5000250001P(B),P(C),

150292002817749P(D)

298144 由于各次射击都是相互独立的，

故该射手在三次射击中击中目标的概率为

PP(A)P(AB)P(ABC)P(A)P(A)P(B)P(A)P(B)P(C)112121

(1)(1)(1)229298951444995或P1P(D)1

144144（2）依题意，设射手甲得分为X，则

1,

2121P(X2),

2991717P(X1),

29814449P(X0),

14411749255850.

所以E(X)3212914414414448P(X3)小结：概率中的审题环节非常重要，一旦出错易导致整题失误，故学生应对一些复杂的条件、规则进行多层分解，再运用互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式进行求解。抓住关键条件，逐个分析，逐个突破。

二、求解概率出错

例3. 某中学经市批准建设分校，工程从2012年底开工到2015年底完工，分三期完成，经过初步招标淘汰后，确定由甲、乙两建筑公司承建，且每期工程由两公司之一独立完成，必须在建完前一期工程后再建后一期工程，已知甲公司获得第一期，第二期，第三期工程承包权的概率分别是,,.

（1）

求甲乙两公司均至少获得1期工程的概率；

（2）

求甲公司获得的工程期数的分布列和数学期望E(X). 分析：此题先根据题意得出乙公司获得第一、二、三期工程承包权的概率为113,,.学生易间接考虑错解为4241133111015P1，其实甲乙不能重复考虑，甲获4244241024311424得即乙不获得，甲不获得即乙获得。此题可单方面从甲考虑，最后归结为甲获得3期，2期，1期，0期四个互斥事件，第

（1）问中包含甲获得2期，1期两种情况，或用1减去甲获得3期，0期两种情况。第（2）问中只涉及到甲公司不易出错。

解：（1）由题意得乙公司获得第一期，第二期，第三期工程承包权的概率分别是，，，记“甲乙至少获得1期工程”为事件A,甲公司获得1期工程，乙公司获得2期工程为事件B，甲公司获得2期工程，乙公司获得1期工程为事件C. 31131131113P(B)(1)(1)(1)(1)(1)(1)

4244244243231131131113P(C)(1)(1) 42442442432131313P(A)P(B)P(C) 32321631111313或P(A)1P(A)1().

42442416141234（2）由题意知，X可取的值为0,1,2,3，且

3113P(X0)111

4243231311311113P(X1)

42442442432

31131131113P(X2)(1)(1)(1)

42442442432

3113P(X3)

42432X的分布列为

X P 0 3

321 13

322 13

323 3

32

E(X)03131333123.

323232322例4. 某公司计划在年会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1,2,3,…,10的十个小球。活动者一次从中摸出三个小球

，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1,5,10为一等假，奖金240元，其余情况无奖金。

（1）

求员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；

（2）

员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，求他得奖次数的方差D(). 分析：此题中基本事件总个数为C10，其中三等奖有且仅有两个连号的情况所包含的基本事件个数容易找错.应先列举1,2连号，2，3连号，3,4连号等等情况，再根据对称性找规律，总结出726756种情况，最后用间接法得到无奖金的情况.（2）直接运用独立重复事件的方差公式计算。

解：（1）甲抽奖一次，基本事件的总数为C10120，

奖金的所有可能取值为0,30,60,240. 一等奖的情况只有一种，所以奖金为240元的概率为P(240)1

12033二等奖三球连号的情况有1,2,3；2,3,4；；8,9,10共8种，得60元的概率为P(60)81

12015三等奖仅有两球连号中，对应1,2与9,10的各有7种，对应2,3；3,4；；8,9各有6种.得奖金30元的概率

为P(30)72677

1201511711

120151524无奖金的概率为P(0)1的分布列为



0 30 60 240 1

120P 1171

24151511711E()0306024020

241515120（2）由（1）可得乙一次抽奖中中奖的概率为P1且四次抽奖是相互独立的. 所以中奖次数B(4,13)

241311143.

故D()424241441113

2424小结：在学生能够理解题意的情况下，对于求解概率也易出错.经常会漏算（如例4中中三等奖的情况），重复考虑（如例3中甲乙重复考虑）其中一些比较复杂的情形.对于以上错误，要培养学生条理清晰，思维严密的能力，以及多见新题型，多了解实际背景，也会有助于此类错误的改进。

三、练习

1、某中学有4位学生申请A,B,C三所大学的自主招生，若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的。

（1）求恰有2人申请A大学的概率；

（2）求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X). 2、假设连续做同样的试验，每次试验的结果只有成功与失败两种.已知第k次成功时，第k+1次成功的概率为；第k次失败时，12

第k+1次成功的概率为.

（1）设第k次成功的概率为Pk，第k+1次成功的概率为Pk1，求Pk

与Pk1满足的关系式；

（2）已知第3次试验成功的概率为19.现规定：如果试验成功，3234则停止试验；否则继续试验直至成功，但试验次数不超过4次，求试验次数X的概率分布列及数学期望E(X). 3、甲乙两个盒子里各放有标号为1,2,3,4的四个大小形状完全相同的小球，从甲盒中任取一小球，记下号码x后放入乙盒，再从乙盒中任取一小球，记下号码y,设随机变量Xxy.

（1）求y=2的概率；

（2）求随机变量X的分布列及数学期望. 四、练习解答

1、解（1）记“恰有2人申请A大学”为事件A. P(A)22C4234248.

8127(2)X的所有可能值为1,2,3. P(X1)P(X2)P(X3)31,3427C4A33A33433224214,

8127C4A3342364.819X的概率分布列为：

X P 1 1

272 14

273 49

114465. 232727927P3312、解：（1）由题意Pk1k(1Pk)Pk.

244431 （2）由（1）可知P2P1,

44319P19P3P21, 441616321P.

12故X的数学期望E(X)1 X的所有可能取值为1,2,3,4.且

1133P(X1).P(X2).2248 P(X3)1133.

244321111P(X4).24432故Ｘ的分布列为：

Ｘ

Ｐ

１

12２

３

3

32４

1

323

8133153E(X)1234.

28323232

３、解：（1）P(y2)P(x2,y2)P(x2,y2)

3 C14CCCCCCC111154111121531121.

45454 (2)X的所有可能取值为0,1,2,3 当X=0时，(x,y)(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)

1 P(X0)C1CCC4112151112

1010105 当X=1时，(x,y)(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)

P(X1)CCCC11411115111113

2020202020101.

10 同理P(X2),P(X3) 则X的分布列为

X P 0

2515 1 3 10 2 1

5 3 1

102311E(X)01231.

510510