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章末复习方略【知识网络表解】a-b>0a>b 不等关系与不等式不等式性质不等关系与不等式一元一次、一元二次不等式解法二元一次不等式组简单的线性规二元一次不等式表示的平面区域简单的线性规划问题基本不等式基本不等式基本不等式求最值基

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小结优秀获奖教案

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小结优秀获奖教案

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关键词：小结优秀获奖教案

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章末复习方略

【知识网络表解】

a-b>0a>b

不等关系与不等式不等式性质不等关系与不等式

一元一次、一元二次不等式解法二元一次不等式组简单的线性规二元一次不等式表示的平面区域简单的线性规划问题基本不等式基本不等式基本不等式求最值基本不等式解实际问题

【考点精要归纳】

1 .不等关系与不等式

2 .不等式的性质

3. 作差法比较大小

4.解一元二次不等式. 5.二元一次不等式组表示平面区域

6. 线性规划问题

7．基本不等式：ababa

8．利用基本不等式求最值

【学海拾贝】

一、不等关系与不等式

1.不等式

2.实数的大小和比较

a-b>0a=b a-b>0a

性质1.a>bbb，b>ca>c 性质3.a>ba+c>b+c 性质4.a>b，c>0ac>bc a>b，c<0acb，c>da+c>b+d 性质6.a>b>0,c>d>0ac>bd 性质7.a>b>0an>bn

性质8.a>b>0na>nb

4.一元二次不等式解法：na>nbax²+bx+c>0(<0) 步骤：①求

②解对应方程ax²+bx+c=0的根

③写解集.

二、简单的线性规划

1. 二元一次不等式

2 .二元一次不等式（组）表示平面区域

( 1 ）画边界

( 2 ）取特殊点检验

( 3 ）确定不等式（组）表示的平面区域3 简单的线性规划问题( l ）列约束条件\ 3.简单的线性规划问题

（1）列约束条件

( 2 ）画可行域，找可行解

( 3 ）求最值，并找最优解三、基本不等式三、基本不等式

1.a

²+b

²≥2ab a，bR 2.基本不等式ab≤ab2（a，bR）变形：ab≤(ab22)

a+b≥2ab

即和是定值积有最大值，积是定值和有最小值，当且仅当a=b时取等号

3. 利用基本不等式求最值

设x，y时正实数

2（1）若x+y=S（定值）这xy有最大值s4

（2）若xy=p（定值）则x+y有最小值2p

当且仅当x=y时取等号.

注：利用基本不等式求最值条件，一正二定，三相等，若不适合条件需要进行变形，拆项，凑系数，消元等，使条件适合基本不等式条件

四、利用不等式求解实际问题

1. 解答不等式应用题步骤：

( l ）阅读材料

( 2 ）建立数学模型

( 3 ）讨论不等关系

( 4 ）得出问题结论

2 .解应用题应注意以下几点

( l ）正确理解题意，设变量时，一般要把求最大（小）值的变量设为函数

( 2 ）建立有关函数关系，把实际问题转化为求函数最值问题

( 3 ）求最值时要注意变量取值范围( 4 ）最后得到的结论要符合实际情况

四、本章涉及到的数学思想及数学方法

数学思想：化归思想，分类讨论思想，数形结合思想、整体代换思想.

数学方法：特殊值法，待定系数法，分离参数法、调整优值法，换元法等。

【典型例题探究】

命题方向一：不等式证明与求解

例题1.

若x(e1,1)，a1nx,b21nx,c1n3x，则a，b，c的大小关系为。

【思维切入】首先据x(e1,1)，求出

1nx范围，再利用不等式的性质. 【解析】∵x(e1,1)

∴1nx(1,0)

∴1nx21nx即ab

∴1n3x1nx即ca

∴cab

【规律技巧总结】利用不等式性质时，要注意不等式成立的条件，不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变，乘以同一个负数不等号方向改变，乘方时不等号两边同正. 例题2.已知不等式ax2(acb)xbc0解集为x|x1或xb

⑴求a，b的值

⑵解不等式ax2(acb)xbc0

【思维切入】解一元二次不等式，先求对应一元二次方程根，再据不等式特点写解集，若已知一元二次不等式解集，可确定对应一元二次方程的根. 【解析】⑴∵ax23x64解解是

x|x1或xb

即ax23x20解集是：

x|x1或xb

∴1，b是方程ax23x20的根.

∴31ba

1b2a

∴a1

b2⑵不等式ax2(acb)xbc0即

x2(c2)x2c0

对应方程两根为：c，2 ①

若c=2，则原不等式无解

②

若c<2，则解集为：x|cx2

③

若c>2，则解集为：2|2xc

综上可知

C=2原不等式解集为⊙

C<2原不等式解集为x|cx2

C>2原不等式解集为x|2xc

【规律技巧总结】解一元二次不等式时注意与一元二次方程的联系，还要注意分类讨论. 命题方向二：简单的线性规划

例题3.试用关于x，y的不等式组表示图中阴影部分所示的平面区域

【思维切入】要写出对应图形如何用相应的不等式表示出来，只要在对应的平面区域中任取一个点，将其坐标分别代入对应的直线的一般式方程的左边，再判断其符号即可写出相应的不等式组. 【解析】由所给的图形可以看到，点（-1，0）再相应的平面区域内，把点（-1,0）的坐标分别代入xy,x2y4,y2中，使

得xy0,x2y40,

y20同时注意相应的平面区域是否包括边界在内，故图中阴影部分所示的平面区域用不等式组表示为

xy0x2y40

y20【规律技巧总结】对于区域的确定一般用代点法验证.“代点法”求平面区域的具体步骤是：从直线AxByC0的某一侧取一个特殊点(x0y0)，将此点代入中AxByC中，根据Ax0Bx0+C的正负可以判定直线那一侧是大于0的特别地，当C0时常把原点作为特殊点. 例题4 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200 万t300万t ，需经过东车站和西车站两个车站运往外地，东车站每年最多能运280 万t煤，西车站每年最多能运360 万t 煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/t和1.5 元/t，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8 元/t和1.6 元/t煤矿应怎样编制调运方案，才能使总运费最少？

【

思维切入】

这道题是线性规划问题，可假设甲煤矿向东车站运煤，万L ，乙煤矿向东车站运煤了万L ，利用题设先列出不等式组，求出目标函数，然后画出它在直角坐标平面内所表示的区域，利用图形加以求解

[解析］设甲煤矿向东车站运，x万t 煤，乙煤矿向东车站运y万t 煤，那么总运费z=x+1.5(200-x)+0.8y+1.6(300-y),即z=780-0.5x-0.8y. 其中x，y应满足

x0,y0,200x0,300y0,

xy280,200x(300y)360.作出上面的不等式组所表示的平面区域如图设直线x+y＝280 与y轴的交点为M ，则M ( O , 280 ) 可知，把直线l : 0.5x+0.8x=0 向上平移至经过平面区域上的点M ( O , 280 ）时，z的值最小．

∵点M 的坐标为（O , 280 ) ∴甲煤矿生产的煤全部运往西车站，乙煤矿向东车站运280 万，煤向西车站运20 万，煤时，总运费最少．

【

规律技巧总结】

解决应用题主要是根据题意列出不等式组，要求学生理解题意，并正确的认识不等关系由于解线性规划问题的关键步骤是在图形上完成的，所以，作图时应尽可能准确，图上操作要尽可能规范

命题方向三：均值不等式的应用

例题5 已知x>0,y>0 且，x+y = 1 ，则1y+yx

的最小值是_________. 【

思维切入】

对于这样的问题，很容易联想到利用基本不等式求解，但此时也容易乱用，从而得到错误的结果，主要原因就是没有真正弄清利用基本不等式求最值的条件“一正二定三相等”

【

解析】

由已知，得1yxyyy+x=y+x=（1y+yx）+1≥2xyyx+=3 ，当且仅当yxxy且x>0,y>0即x=y=1时，取等号. xy12【

规律技巧总结】

用墓本不等式求最值时，要注意检验最值存在的条件特别地，如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次“≥”) " （或者“≤”中取" = ”成立的诸条件是否相容本题是考查利用墓本不等式求最值，在具体求解过程中，要注意所涉及的数是否为正，要求两正数和的最小值，相应的积是否一定，否则求得的结果就不正确

例题6. 某村计划建造一个室内面积为800 m

²的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？

【

思维切入】

本题主要思路是把实际问题抽象为数学问题，灵活的应用不等式等基本知识和方法解决问题. 【解析】设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800 蔬菜的种植面积S=（a-4）（b-2）=ab-4b-2a+8=808-2（a+2b），

所以S≤808-42ab=648（m ²）

当a=2b，即a=40（m），b=20（m ²）时

S最大值648（m ²）

【

规律技巧总结】

本题是有关墓本不等式的实际应用问题在利用墓本不等式求有关代数式的最值的过程中，要注意相应的前提条件是否具备，否则就会得出错误的结果

命题方向四：综合应用

例题7.设函数f(x)=mx²-mx-6+m （1）若对于m[-2,2],f(x)<0,恒成立求实数x的取值范围. （2）若对于x[1,3],f(x)<0,恒成立求实数m的取值范围. 【思维切入】（1）可把原函数看成关于m的一次函数处理. （2）可以分离出m来. 【

解析】

（1 ）整理为：g（m）=（x²-x+1）m-6 ∵g（m）<0,恒成立m[-2,2] ∴g(20)g(20)

即；(x2x1)(2)60

(xx1)260∴xR

1x2∴x的取值范围时{x|-1

即mx²-mx-6m<0恒成立

∴m（x²-x+1）<6，恒成立

∴m<6x2恒成立

x1令h（x）=6x2x[1,3] x1则h6x最小值=7

∴M<67

【

规律技巧总结】

恒成立问题，有时要求最值（最大或最小值）有时要分离参数，据题目条件要灵活掌握

【自我评测】

1.若a

）

A.1a1b

B.1ab1a

C.ab

D.ab

2. 若1 < a < 4,1 < b < 2,则ab的范围是（

）A. ( 1, 2 )

B.

(12

, 2 )

C.(２，４)

Ｄ．(12

, ４

) ３．设ａ，ｂ，ｕ都是正实数，且ａ，ｂ满足1a9b1，则使得ａ＋ｂu恒成立的ｕ的范围是（

）

Ａ．0,16

Ｂ．0,12

Ｃ．0,10

Ｄ．0,8

４．二次方程x22(k4)x2(k22)0的两个根都是正数，则实数ｋ的取值范围是（

）Ａ．－２k2或2k10

Ｂ．－２k10

Ｃ．－２k2

Ｄ．2k10

５．平面区域如图所

示，若使目标函数

zaxy(a0)取得最大值的最

优解有无穷个，

则ａ的值为（

）

Ａ．４

Ｂ．１

Ｃ．12

Ｄ．14

６．若yf(x)值域是［12,3］，则函数F(x)f(x)1f(x)的值域是（）

Ａ．［12,3］

Ｂ［２，103］

Ｃ．［510102,3］

Ｄ．［３，3］

７．ｘ＞１，ｙ＜１，且１ｇｙ＋１ｇｙ＝４，则１ｇｙ１ｇｙ的最大值是（

）

Ａ．４

Ｂ．２

ｃ．１

Ｄ．14

xy0８．若不等式组2xy2表示的平面区y0xya域是一个三角形，则ａ的范围是（

）

Ａ．ａ43

Ｂ．０＜ａ1

Ｃ．１≤a≤43

D.

0＜a≤1或a≥43

9. a＞b则11a＜b成立的条件是＿＿＿＿

10.求f（x）=1x2+x的值域.

11.某渔业公司今年初用98万元购买一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，给船每年捕捞的总收为50万元。

（1）该船捕捞几年开始盈利？（即总收入大于总成本）

（2）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：

①当年平均盈利最大时，以26万元价格卖出。

②当盈利总额最大时，以8万元价格卖出。

问哪一种方案较为合算？说明理由。

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