三 反证法与放缩法课堂实录【3】

三

反证法与放缩法

[学习目标] 1.理解反证法在证明不等式中的作用，掌握用反证法证明不等式的方法. 2.掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式. [知识链接] 1.在阅读教材的基础上，想一想哪些命题或不等式适合用反证法证明？

提示

存在性命题、否定性命题、唯一性命题或结论中出现“至少”、“至多”、“全都”等字词的命题或不等式. 2.用放缩法证明不等式常用的放缩方法有哪些？

提示

①添加或舍去一些项；②将分子或分母放大(或缩小)；③真分数的性质：aa＋m若0＜a＜b，m＞0，则b＜；④利用基本不等式；⑤利用函数的单调性；⑥b＋m绝对值不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.⑦利用函数的有界性：如：|sin x|≤1(x∈R)；1x2－x≥－4(x∈R)；2x＞0(x∈R). [预习导引] 1.反证法

先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质，明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法. 2.放缩法

将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简，达到证明目的.如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值缩小，反之，把分母缩小，则分式的值放大.

教学过程设计

要点一

反证法证明不等式

例1

设a，，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.

证明

假设4a(1－b)＞1，4b(1－c)＞1，4c(1－d)＞1，

4d(1－a)＞1，则有

11a(1－b)＞4，b(1－c)＞4，

11c(1－d)＞4，d(1－a)＞4. 11∵a（1－b）＞2，b（1－c）＞2，

11c（1－d）＞2，d（1－a）＞2. 又∵a（1－b）≤a＋（1－b）b＋（1－c），b（1－c）≤，

22c＋（1－d）d＋（1－a）c（1－d）≤，d（1－a）≤，

22a＋1－b1b＋1－c1∴2＞2，2＞2，

c＋1－d1d＋1－a1＞2. 2＞2，2将上面各式相加得2＞2，矛盾. ∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1. 规律方法

(1)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法. (2)用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理相矛盾的结论，从而肯定原命题成立. 跟踪演练1

已知a，b，c∈(0，1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时1大于4. 1证明

法一

假设三式同时大于4，

111即有(1－a)b＞4，(1－b)c＞4，(1－c)a＞4，

1三式同时相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c＞64. 1－a＋a21＝. 又(1－a)a≤42

11同理，(1－b)b≤4，(1－c)c≤4. 1∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤64，与假设矛盾，则结论正确. 1法二

假设三式同时大于4，

∵0＜a＜1，∴1－a＞0，

（1－a）＋b≥（1－a）b＞2114＝2. （1－b）＋c（1－c）＋a1同理，都大于. 22233三式相加，得2＞2，矛盾. ∴原命题成立. 要点二

放缩法证明不等式

31111例2

求证：2－＜1＋22＋…＋n2＜2－n(n∈N*且n≥2). n＋1证明

∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)，

111∴＜2＜，

k（k＋1）kk（k－1）11111即k－＜k2＜－k(k∈N*且k≥2). k＋1k－1分别令k＝2，3，…，n得

1111111112－3＜22＜1－2，3－4＜32＜2－3，

11111…n－＜n2＜－n，将这些不等式相加得

n＋1n－1111111111－＋－＋…＋－＜＋＋…＋2＜

2334nn＋12232n111111－2＋2－3＋…＋－n，

n－1111111即2－＜22＋32＋…＋n2＜1－n，

n＋1111111∴1＋2－＜1＋22＋32＋…＋n2＜1＋1－n，

n＋1

311111即2－＜1＋22＋32＋…＋n2＜2－n(n∈N*且n≥2)成立. n＋1规律方法

(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败. (2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作办法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项和负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的. 1111跟踪演练2

设n是正整数，求证：2≤＋＋…＋2n＜1. n＋1n＋2证明

由2n≥n＋k＞n(k＝1，2，…，n)，

111111得2n≤＜.当k＝1时，2n≤＜；

n＋knn＋1n111当k＝2时，2n≤＜n；

n＋2…

111当k＝n时，2n≤＜n，

n＋n1n111n∴2＝2n≤＋＋…＋2n＜n＝1. n＋1n＋2要点三

放缩法在数列中的综合应用

例3

已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋). (1)求数列{an}的通项；

n1a1a2ann(2)证明：2－3＜a＋a＋…＋＜(n∈N＋). an＋1223(1)解

∵an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，

∴数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列. ∴an＋1＝2n，即an＝2n－1(n∈N＋). 11－2n2－1an1(2)证明

∵＝n＋1＝＜12，

an＋12－12－2nna1a2ann∴a＋a＋…＋＜. an＋1223

2k－11ak1∵＝k＋1＝2－

ak＋12－12（2k＋1－1）11111＝2－k≥2－32k，k＝1，2，3，…，n. k3·2＋2－2a1a2a3ann111n1∴a＋a＋a＋…＋≥－＋k＞－. an＋1233223234n1a1a2ann∴2－3＜a＋a＋…＋＜(n∈N＋). an＋1223规律方法

解数列不等式综合题要注意

①数列不等式综合题难度大，内容丰富，是考查数学能力的良好载体；

②数列问题重点在数列通项上，解决问题的方法也蕴含在其中，注意考察的方式；

③注意放缩的尺度，过大过小都不能解决问题. 2n－1135跟踪演练3

求证：2＋4＋8＋…＋2n＜3(n∈N＋). 2n－1135证明

设S＝2＋4＋8＋…＋2n，

2n－111135将等式两边乘以2得，2S＝4＋8＋16＋…＋n＋1. 22n＋312n－1111111将两式相减得，2S＝2＋24＋8＋16＋…＋2n－n＋1＝2＋1－n＋1.∴S＝3－222n＋32n＋3n，又22n＞0，

2n－1135∴S＜3，即2＋4＋8＋…＋2n＜3(n∈N＋).

(1)当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体. (2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相矛盾. (3)放缩法常用结论有：

①122＝＞＝2(k＋1－k)，

kk＋kk＋k＋1

122＝＜＝2(k－k－1)(k∈N＋，k＞1)；

kk＋kk＋k－111111111②k2＜＝－k；k2＞＝k－(程度大)；

k（k－1）k－1k（k＋1）k＋1111111－(程度小). ③k2＜2＝＝k－1（k－1）（k＋1）2k－1k＋1