3.1.2 复数的几何意义教学设计及教案分析

高三

一轮复习

第四章

平面向量与复数

4.5

数系的扩充与复数的引入

【教学目标】

1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．

2.了解复数的代数表示法及其几何意义．能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示．

3.会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减运算的几何意义. 【重点难点】

1.教学重点理解复数的基本概念，会进行复数代数形式的四则运算；

2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；

【教学策略与方法】

自主学习、小组讨论法、师生互动法

【教学过程】

教学流程

教师活动

考纲传真

1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．

2.了解复数的代数表示法及其几何意义．能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示．

3.会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减运算的几何意义. 真题再现; 1．(2015·广东高考)已知i是虚数单位，则复数(1＋i)2＝(

) A．2i

B．－2i

C．2

D．－2 【解析】

(1＋i)2＝1＋i2＋2i＝2i.【答案】

A 2．(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(

) A．－2－i

B．－2＋i

C．2－i

D．2＋i

。

学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。

学生活动

通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢

设计意图

i＋1【解析】

∵(z－1)i＝i＋1，∴z－1＝＝1－i，∴zi＝2－i，故选C.【答案】

C 第

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知识梳理

知识点1

复数的有关概念

意义

b都是实数，形如a＋bi的数叫复中实部为a，虚部为b，i叫做虚数备注

ba＋bi为实数⇔b＝0，a＋

＝a＋bi为纯虚数⇔a

学生通过对高

＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)

与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，R)

面直角坐标系来表示复数的平面，平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚

复数a(a为实数)的共

实轴上的点都表示实数；

轴上的点都表示

|z|＝|a＋bi|＝a

语言→Z的长度叫做复数z＝a＋bi的模，知识点2

复数的几何意义

1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)和复平面内的点Z(a，b)一一对应．

→2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)和向量OZ一一对应．

知识点3

复数代数形式的四则运算

1．运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

符号表示

z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i

z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i

a＋bz1a＋bi＝＝z2c＋dic＋dc－dc－d＝把实部、虚考真题的解决，感按照多项式乘受高考题的考察换成－1 视角。

把分子、分母分

共轭复数，然

别进行

ac＋bdbc－ad＋i(c＋di≠0)

c2＋d2c2＋d22.复数加减法的几何意义

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复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．

如图所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映→→→→出复数加减法的几何意义，即OZ＝OZ1＋OZ2，Z1Z2＝→→OZ2－OZ1. 1．必会结论；(1)(1±i)2＝±2i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．

1＋i1－i＝i；＝－i. 1－i1＋i

＋＋＋(3)i4n＝1，i4n1＝i，i4n2＝－1，i4n3＝－i(n∈N*)．

(4)i4n＋i4n1＋i4n2＋i4n3＝0(n∈N*)．

＋＋＋2．必清误区；(1)判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．

(2)两个虚数不能比较大小．

(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质2照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z21＋z2＝0，

就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．

考点分项突破

考点一复数的有关概念

51．若a＋bi＝(i为虚单位，a，b∈R)，则复数z1＋2i＝(a＋1)＋(b＋1)i的模为(

) A．5

B.5

C.10

D．10

5【解析】

由a＋bi＝＝1－2i得a＝1，b＝－2，

1＋2i

所以复数z＝2－i，∴|z|＝22＋12＝5.

【答案】

B

2i2．已知复数z满足z＝(i为虚数单位)，则z的

1＋3i

共轭复数的虚部是(

)

环节二

1＋i，

2311－所以z＝－i，所以z的共轭复数的虚部是－. 222【答案】

D 3．(2015·天津高考)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．

【解析】

由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2. 【答案】

－2 归纳求解与复数相关问题的技巧

1．复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(不等式)组即可．

2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数模的定义求解．

考点二

复数的四则运算

●命题角度1

复数的加减乘法运算

1．(2015·广东高考)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝(

) A．2－3i

C．3＋2i

B．2＋3i 3311A.

B．－

C.

D．－

2222【解析】

z＝2i＝1＋3i－3＋3－3＝32

教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。

D．3－2i

【解析】

∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，

∴z＝2－3i.【答案】

A 2．(2015·北京高考)复数i(1＋i)的实部为________．

【解析】

因为i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，所以实部为－1.【答案】

－1 ●命题角度2

复数的除法运算

1＋z3．(2015·全国卷Ⅰ)设复数z满足＝i，则|z|＝(

) 1－z第

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A．1

B.2

C.3

D．2 1＋z－1＋i【解析】

由＝i，得z＝＝1－z1＋i－1＋2【答案】

A 4．(2015·湖南高考)已知位)，则复数z＝(

) A．1＋i

B．1－i C．－1＋i

D．－1－i 【解析】

由－＝＋－－－z2

－z2

由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和解题效率。

教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。

－2i＝＝i，所以|z|＝|i|＝1，故选A. 2＝1＋i(i为虚数单

引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解。从而为后面的练习奠定基础.

＝1＋i，得z＝－1＋i2－2i＝1＋i＝－1－i，故选D.【答案】

D ●命题角度3

复数与其它知识交汇

5．(2015·陕西高考)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为(

) 3111A.＋

B.＋

42π2π1111C.－

D.－

2π42π

【解析】

|z|＝x－2＋y2≤1，即(x－1)2＋y2≤1，

表示的是圆及其内部，如图所示．当|z|≤1时，y≥x表

11示的是图中阴影部分，其面积为S＝π×12－×1×1＝

42

π－2.又圆的面积为π，根据几何概型公式得概率P＝

4π－2411＝－.【答案】

D π42π归纳复数运算的一般思路

1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算；除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要

在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能第

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把i的幂写成最简形式，将复数问题实数化．

2．复数运算与复数的相关概念及几何意义相结合的问力和兴趣。

教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的

认知结构。

引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构

进行编码处理，＋－＋＝－2＝加强理解记忆，提高解题技能。

题，一般应利用运算法则化简复数，再结合有关定义、

几何意义求解．

考点三

复数的几何意义

2i

(1)(2015·安徽高考)设i是虚数单位，则复数在1－i复平面内所对应的点位于(

)

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

(2)(2014·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝(

) A．－5

B．5 C．－4＋i

D．－4－i 【解析】

(1)2i＝1－i－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B. (2)∵z1＝2＋i在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z2的对应点的坐标为(－2,1)，即z2＝－2＋i，∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5. 【答案】

(1)B

(2)A 跟踪训练1．复数z＝i－2－2(i为虚数单位)，z在复平面内所对应的点在(

) A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【解析】

z＝i－2－2＝ii＝＝4＋4i－13＋4i第

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－25＝，

4343，在＋i，所以z在复平面内所对应的点25252525第一象限．【答案】

A 2．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们→→在复平面上对应的点分别为A，B，C，若OC＝λOA＋→μOB，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．

→→→【解析】

由条件得OC＝(3，－4)，OA＝(－1,2)，OB→→→＝(1，－1)，根据OC＝λOA＋μOB得

(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，

－λ＋μ＝3，λ＝－1，由解得∴λ＋μ＝1. 2λ－μ＝－4，μ＝2，

【答案】

1 归纳复数几何意义及应用

→1．复数z、复平面上的点Z及向量OZ相互联系，即z→＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ. 2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．

环节三

课堂小结

引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。

1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．

学生回顾，总结. 2.了解复数的代数表示法及其几何意义．能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示．

3.会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减运算的几何意义. 环节四

课后作业学生版练与测

学生通过作业进行课外反思，通过思考发散巩固所学的知识。

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