1.3 实习作业板书设计及意图

正弦定理、余弦定理达标检测题

1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于(

) A.6

36

322B．

322D．－

3C．－bsin A解析：选A.因为a＝15，b＝10，A＝60°，所以在△ABC中，由正弦定理可得sin B＝a10×3236＝＝，又由a>b可得A>B，即得B为锐角，则cos B＝1－sin2B＝. 1533Ab＋c2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2＝，则△ABC是(

) 22cA．直角三角形

C．等边三角形

2AB．等腰三角形或直角三角形

D．等腰直角三角形

b＋cb2＋c2－a2bb2A解析：选A.因为cos＝及2cos－1＝cos A，所以cos A＝，即＝，所以22c2c2bcca2＋b2＝c2，则△ABC是直角三角形．故选A. →→→→3．在△ABC中，已知|AB|＝4，|AC|＝1，△ABC的面积为3，则AB·AC＝(

) A．±2

C．2

B．±4 D．4 1→→1→→解析：选A.因为|AB|＝4，|AC|＝1，△ABC的面积为3，所以S△ABC＝·|AB|·|AC|·sin A＝22×4×1×sin A＝3.

所以sin A＝31，所以cos A＝±1－sin2A＝±.

22→→→→所以AB·AC＝|AB|·|AC|·cos A

1±＝±＝4×1×22，故选A. π4．在△ABC中，A＝，且最大边长和最小边长是方程x2－7x＋11＝0的两个根，则第三边3的长为(

) A．2

C．4

B．3 D．5 π解析：选C.已知A＝，且最大边长和最小边长是方程x2－7x＋11＝0的两个根，则第三边3为a，b＋c＝7，bc＝11，所以a＝b2＋c2－2bccos A

＝b2＋c2－2bccos π

3＝（b＋c）2－3bc＝72－3×11＝4. 5．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝2，则C＝(

) πA.

12πC.

4πB．

6πD．

3解析：选B.因为sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，所以sin(A＋C)＋sin A·sin C－sin A·cos C＝0，所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理得sin C(sin A＋cos A)＝0，3π因为sin C≠0，所以sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1，因为A∈(0，π)，所以A＝，由4c·sin A正弦定理得sin C＝＝a2×221ππ＝，又0

sin A＋sin B＋sin C解析：由题知，设△ABC外接圆半径R，

abc3则2R＝＝＝＝＝23，

sin Asin Bsin C32a＋b＋c则

sin A＋sin B＋sin C2R（sin A＋sin B＋sin C）＝＝2R＝23.

sin A＋sin B＋sin C答案：23 7．在△ABC中，已知sin A∶sin B＝2∶1，c2＝b2＋2bc，则三内角A、B、C的度数依次是________．

解析：由题意知a＝2b，a2＝b2＋c2－2bccos A，

即2b2＝b2＋c2－2bccos A，又c2＝b2＋2bc，所以cos A＝30°，所以C＝105°.

答案：45°，30°，105°

8．在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为__________．

AB3BC解析：由正弦定理知＝＝，

sin Csin 60°sin A所以AB＝2sin C，BC＝2sin A．又A＋C＝120°，

21，得A＝45°，sin B＝，B＝22

所以AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120°－C)

＝2(sin C＋2sin 120°cos C－2cos 120°sin C)

＝2(sin C＋3cos C＋sin C)

＝2(2sin C＋3cos C)＝27sin(C＋α)，

其中tan α＝3，α是第一象限角．

2由于0°

因此AB＋2BC有最大值27.

答案：27 9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos C＝(2a－c)cos B．

(1)求角B的大小；

(2)若b2＝ac，试确定△ABC的形状．

解：(1)由已知及正弦定理，有

sin Bcos C＝(2sin A－sin C)cos B，

即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Acos B．

所以sin(B＋C)＝2sin AcosB．

因为sin(B＋C)＝sin A≠0，所以2cos B＝1，

1即cos B＝，所以B＝60°.

2(2)由题设及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B得，

ac＝a2＋c2－2accos 60°，即a2＋c2－2ac＝0.

所以(a－c)2＝0.从而a＝c.

由第一问知B＝60°，

所以A＝B＝C＝60°.所以△ABC为正三角形．

10．在△ABC中，a2＋c2＝b2＋2ac. (1)求B的大小；

(2)求2cos A＋cos C的最大值．

解：(1)由余弦定理及题设得

a2＋c2－b22ac2cos B＝＝＝.

2ac2ac2π又因为0<∠B<π，所以∠B＝.

43π(2)由(1)知∠A＋∠C＝，则

42cos A＋cos C＝2cos A＋cos3π－A

4

＝2cos A－＝22cos A＋sin A

22π22cos A＋sin A＝cosA－.

2243ππ因为0<∠A<，所以当∠A＝时，2cos A＋cos C取得最大值1. 44[B

能力提升] 11．在△ABC中，sin2A－sin2C＝(sin A－sin B)sin B，则C等于(

) πA.

65πC.

6πB．

32πD．

3解析：选B.由sin2A－sin2C＝(sin A－sin B)·sin B，结合正弦定理可得a2－c2＝(a－b)b＝ab－b2，即a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理可得2abcos C＝ab，解得

π1cos C＝，所以C＝. 23π12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝，b＝1，三角形ABC的3外接圆半径为1，则△ABC的面积S＝________．

ab1解析：由正弦定理＝＝2R，所以a＝3，sin B＝，所以a>b，所以A>B，所以Bsin Asin B2ππ3＝，C＝.所以S△ABC＝.

622答案：3

2cos Acos Bsin C13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝. abc(1)证明：sin Asin B＝sin C；

6(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B．

5abc解：(1)证明：根据正弦定理，可设＝＝＝k(k>0)．

sin Asin Bsin C则a＝ksin

A，b＝ksin B，c＝ksin C，

cos Acos Bsin C代入＋＝中，有

abccos Acos Bsin C＋＝，变形可得

ksin Aksin Bksin Csin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)．

在△ABC中，由A＋B＋C＝π，

得sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，

所以sin Asin B＝sin C.

b2＋c2－a236(2)由已知，b＋c－a＝bc，根据余弦定理，有cos A＝＝，

52bc52224所以sin A＝1－cos2A＝.

5由第一问，

知sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，

443sin B所以sin B＝cos B＋sin B，故tan B＝＝4. 555cos B14．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且(1)求A的大小；

(2)若a＝6，求b＋c的取值范围．

解：(1)由正弦定理，得aa＝，

3cos Asin Aac＝. 3cos Asin C整理得sin A＝3cos A，即tan A＝3.

π又0

3bc6(2)因为＝＝＝43，

sin Bsin Cπsin 3所以b＝43sin B，c＝43sin C，

则b＋c＝43sin B＋43sin C＝43[sin B＋sin2π因为0

3ππ5π则

666ππ1所以

236得6

于是b＋c的取值范围是(6，12]．

2ππ－B]＝12sinB＋.

63