小结教案设计范例

第4讲

基本不等式

一、选择题

41．若x＞0，则x＋的最小值为(

)．

xA．2

B．3

4

C．22

D．4 解析

∵x＞0，∴x＋≥4.

x答案

D 142．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(

)．

ab7A.

2

B．4

14

9 C.

2

D．5 1141b4a1解析

依题意得＋＝＋(a＋b)＝5＋＋≥5＋2 ab2ab2ab2b4a×aba＋b＝2b4a9＝，当且仅当＝ab2a＞0，b＞0

2，即a＝，

34149b＝时取等号，即＋的最小值是. 3ab2答案

C 3．小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a

(

)．

A．a

a＋bC.ab

B．v＝ab

a＋bD．v＝2

解析

设甲、乙两地之间的距离为s. ∵a

ab－a2a2－a22ab又v－a＝－a＝>＝0，∴v>a. a＋ba＋ba＋b答案

A 4．若正实数a，b满足a＋b＝1，则(

)．

A.＋有最大值4

11ab

1 B．ab有最小值

4 D．a2＋b2有最小值2

2C.a＋b有最大值2 解析

由基本不等式，得ab≤a2＋b22＝a＋b22－2ab1，所以ab≤，故B411a＋b1a＋b错；＋＝＝≥4，故A错；由基本不等式得≤ ababab2a＋b2＝

1，即a＋b≤ 2，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2112×＝，故D错．

42答案

C 215．已知x>0，y>0，且x＋y＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是

(

)．

A．(－∞，－2]∪[4，＋∞)

C．(－2,4)

B．(－∞，－4]∪[2，＋∞) D．(－4,2) 21解析

∵x>0，y>0且x＋y＝1，

4yx21∴x＋2y＝(x＋2y)x＋y＝4＋x＋y

≥4＋2 4yx4yx·＝8，当且仅当xyx＝y，

即x＝4，y＝2时取等号，

∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，

只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，

即8>m2＋2m，解得－4

答案

D 6．已知两条直线l1：y＝m和l2：y＝8(m>0)，l1与函数y＝|log2x|的图象从2m＋1左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.b记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，a的最小值为

(

)．

3D．44 A．162

B．82

3C．84

解析

如图，作出y＝|log2x|的图象，由图可知A，C点的横坐标在区间(0,1)内，B，D点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而b且xC－xA与xB－xD同号，所以a＝xB－xD，根据已知|log2xA|＝m，即－xC－xAlog2xA＝m，所以xA＝2－m.同理可得xC＝2－2m－282m＋188，xB＝2m，xD＝2，所2m＋12m＋1882m－22m－22m＋12m＋1b88以a＝＝＝＝2＋m，由于81182m＋12m＋1－mm2－－2－m2－2822m＋12m＋122m＋182m·22m＋12m＋112m＋18178＋m＝＋2－2≥4－2＝2，当且仅当＝2，即2m＋1＝2m＋12m＋13b74，即m＝2时等号成立，故a的最小值为22＝82. 答案

B 二、填空题

7．设x，y为实数．若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．

332x＋y25，得(2x＋解析

依题意有(2x＋y)2＝1＋3xy＝1＋2×2x×y≤1＋2·8221010210y)2≤1，即|2x＋y|≤5.当且仅当2x＝y＝5时，2x＋y取最大值5.

答案

2105

28．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交x于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．

2解析

假设直线与函数f(x)＝的图象在第一象限内的交点为P，在第三象x限内的交点为Q，由题意知线段PQ的长为OP长的2倍．

2假设P点的坐标为x0，，则|PQ|＝2|OP|＝2x042x20＋2≥4.当且仅当x0＝x04x20，即x0＝2时，取“＝”号．

答案

4 9．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．

解析

由a，b∈R＋，由基本不等式得a＋b≥2ab，

则ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，

即ab－2ab－3≥0⇔(ab－3)(ab＋1)≥0⇒ab

≥3，

∴ab≥9. 答案

[9，＋∞) 1110．已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝x＋xy＋y的最小值为________。

21yx1x＋y－2xy211解析

z＝x＋xy＋y＝xy＋xy＋x＋y＝xy＋xy＋＝xy＋xy－2，xy121x＋y21＝.由f(t)＝t＋在0，4上单调递减，故当t＝令t＝xy，则0

4

三、解答题

11．设a，b，c都是正数，求证：证明

∵a，b，c都是正数，∴bcacab＋＋≥a＋b＋c. abcbccaab，，都是正数．

abc

∴bcca＋≥2c，当且仅当a＝b时等号成立，

abcaab＋≥2a，当且仅当b＝c时等号成立，

bcabbc＋≥2b，当且仅当a＝c时等号成立．

ca三式相加，得2(即bccaab＋＋)≥2(a＋b＋c)，

abcbccaab＋＋≥a＋b＋c. abc当且仅当a＝b＝c时等号成立．

12．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20. (1)求u＝lg x＋lg y的最大值；

11(2)求x＋y的最小值．

解

(1)∵x>0，y>0，

∴由基本不等式，得2x＋5y≥210xy. ∵2x＋5y＝20，∴210xy≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．

2x＋5y＝20，x＝5，因此有解得

2x＝5y，y＝2，此时xy有最大值10. ∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1. ∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1. 11112x＋5y(2)∵x>0，y>0，∴x＋y＝x＋y·20＝

5y2x117＋x＋y≥7＋2 2020立．

2x＋5y＝20，由5y2x＝，xy5y2x5y2x7＋210＝，当且仅当·20x＝y时，等号成xy

1010－20x＝3，解得20－410y＝.3

7＋21011∴x＋y的最小值为20. 13．设f(x)＝16x(x>0)．

x2＋8(1)求f(x)的最大值；

21(2)证明：对任意实数a，b，恒有f(a)

f(x)＝16x1616＝≤＝22，

8x2＋88x＋x2 x·x8当且仅当x＝x时，即x＝22时，等号成立．

所以f(x)的最大值为22. 321(2)证明

b2－3b＋4＝b－22＋3，

321当b＝2时，b2－3b＋4有最小值3，

由(1)知，f(a)有最大值22，

21∴对任意实数a，b，恒有f(a)

(1)试用x表示S；

(2)当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值．

x－6解

(1)由图形知，3a＋6＝x，∴a＝3. 1 8001 800－4则总面积S＝x·a＋2ax－6



5 400x－65 400＝ax－16＝3x－16

10 80016x＝1 832－x＋3，

10 80016x即S＝1 832－x＋3(x＞0)．

10 80016x(2)由S＝1 832－x＋3，

得S≤1 832－2 10 80016xx·3＝1 832－2×240＝1 352. 10 80016x当且仅当x＝3，此时，x＝45. 即当x为45米时，S最大，且S最大值为1 352平方米.