2.2.2 反证法课时教案

反证法

一、教材内容分析: 本课是人教A版数学选修1—2第二章“推理与证明”第二节“直接证明与间接证明”第二课时的内容，是反证法部分。

“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用。

证明一般包括直接证明与间接证明。“直接证明”的两种基本方法是综合法和分析法，它们是解决数学问题常用的思维方式；“间接证明”的一种基本方法是反证法，但是反证法的应用需要逆向思维，这是学生学习的一个难点。所以，本课的关键是让学生在动脑思考、动手证明的过程中体会反证法的思维过程，建立应用反证法的感觉。

二、学生学习情况分析：

本节内容在初中就有接触，反证法的逻辑结构并不复杂，但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的。

所教学生是理科普通班，数学思维一般，对于反证法证明简单命题问题不大。但由于学生对数的了解不多，研究不够，所以例1有困难。例2是对空间几何中线面平行的判定定理的证明，由于学生对立体几何知识遗忘太多，所以解决这个问题还是困难重重。

三、设计思想

本节课的设计遵循问题引领的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，通过提出问题，合作讨论，合情推理，操作确认，归纳出反证法的概念：反证法的基本步骤：反证法的应用关键；适合用反证法证明的四类问题：将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，提高学生的数学逻辑思维能力。

四、教学目标

知识与能力：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。

过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

情感、态度、价值观：（1）在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。在学习和生活

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中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机。

（2）通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

五、教学重点与难点

重点：1、理解反证法的概念，

2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，

3、用反证法证明简单的命题。

难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据。

六、学法指导

通过自学和老师的范例讲解，体会反证法的含义及反证法证明命题的思路方法，自己总结反证法证题的基本步骤。法国数学家阿达玛曾说过：“反证法的证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法精辟的概括.反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真，所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的.反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会. 【教学过程】

一、学前准备

1、复习回顾

上节课我们学习了用 ， 直接证明问题的方法。但是有的问题是显然成立的或要分成多种情况进行讨论。我们再用直接方法就显的比较困难或麻烦，那么证明一个问题的成立是不是还有其他的方法呢？这节课我们就来学习用间接的方法证明一个问题是成立的——反证法。

2、情景创设：

A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎.则C必定是在撒谎，为什么？

【设计意图】：通过对这个问题的解答，使学生自主探究反证法的概念及反证法

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证明的步骤.导入新课。此环节旨在提升学生的求知欲、探索欲，使学生保持良好、积极的情感体验。

二、自学、合作探究（一）

通过对这两个个问题的解答，有学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤. （1）定义：

反证法：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。

（2）步骤

反证法证题的基本步骤：

1．假设原命题的结论不成立；（假设）

2．从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪）

3．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论）

三、例题讲解

例1、

写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”. 【设计意图】：能否正确地写出假设，是解决问题的基础和保障

(1)互补的两个角不能都大于90°. (2)△ABC中,最多有一个钝角

(3)a,b,c中至少有一个是正数

例2、

已知直线a,b和平面，如果a,b,且a//b,求证：a//

【设计意图】：本例是位于必修2第55页线面平行的判定定理的证明，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑采用反证法证明本例

求证：2是无理数

【设计意图】：本例是一个典型的使用反证法证明的问题，本例的难点是学生对无理数的了解很少，有理数的性质也接触得很少，许多学生对有理数的表示也不太熟悉，因此用反证法得出矛盾的方向也很不明确，教学中要逐步引导到位

例4、已知x,y0,且xy2。求证：1x1y,中至少有一个小于2.

yx【设计意图】：结论中含“至少”，如果从正面证明，需要分成三种情形进行分类讨论，而从反面证明，只要研究一种情形，故采用反证法.

证明：假设1x1y与都不小于2 xy则1y1x2

2且xy

3

1x2y且1y2x

所以1x1y2y2x即xy2与xy2矛盾

所以假设错误

所以1y1x2至少有一个成立.

2和xy四、巩固训练：

1.

求证：2,3,5不可能成等差数列．

【设计意图】：结论中含否定词语，故考虑采用反证法.

2.

ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列，求证B.2【设计意图】：本题利用余弦定理直接证明可以，利用反正也可，对比两种证明方法，反正更简单。

五、自学、合作探究（二）

根据以上问题让学生归纳反证法证明的常见四类问题.和应用反证法的关键。

【设计意图】：侧重学生的“思”“探”“究”的自主学习，由旧知识自主探究新知识

六、课堂小结

由学生总结本节课的收获

【设计意图】：通常，课堂小结均由老师和盘托出，学生接受现成的结论。本设计充分发挥学生思维参与的主动性和创造性，师生合作，让课堂小结成为点睛之笔。

七、小试牛刀

1．否定下列命题的结论：

（1）

在⊿ABC中如果AB=AC，那么∠B=∠C。 。（C、D组完成）

（2）

如果点P在⊙O外，则d>r（d为P到O的距离，r为半径） （C、D组完成）

（3）

在⊿ABC中，至少有两个角是锐角。 （A、B组完成）

（4）

在⊿ABC中，至多有只有一个直角。 （A、B组完成）

2．选择题：

证明“在⊿ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设：（ ）

A．三角形中至少有一个直角或钝角

B．三角形中至少有两个直角或钝角

C．三角形中没有直角或钝角

D 。三角形中三个角都是直角或钝角

3．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”•应先假设这个三角形中（ ）

A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°

C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°

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八、作业

课本91页A组1（存在唯一性问题）、

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