阅读与思考 错在哪儿教案板书设计

第一课时

3.3.1

二元一次不等式（组）与平面区域（一）

教学目的：会用二元一次不等式表示平面区域.

教学重点：理解并能用图形表示二元一次不等式及不等式组的解集，了解什么是边界. 教学难点：理解并能用图形表示二元一次不等式及不等式组的解集. 教学过程：

一、复习准备：

1、一元一次不等式：x30，它的解集是xx3，表示方法是数轴上的一个区间，3是对应方程的根. x302、一元二次不等式组：，它的解集是x3x4，3和4分别为对应方程的根. x40二、新课讲解：

1、定义：含有两个未知数，并且未知数的次数为1的不等式称为二元一次不等式.由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.

满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是, 二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合. 引入实例（略）分析：设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元. xy25000000 依题意化简整理得：12x10y3000000 （学生回答次不等式的名称，得到定义）

x0,y0思考：此不等式组的解集是什么？

2、探究：二元一次不等式xy6的解集所表示的图形. 分析：在平面直角坐标系中，画直线xy6，（图略）

整个坐标平面被直线分为三部分：（1）直线xy6上的点.

（2）直线xy6左上方的平面区域. （3）直线xy6右下方的平面区域. 猜想：不等式xy6和xy6的解集分别对应直线左上方和右下方的平面区域.

在直线上任取点Px,y1，取点Ax,y2使得满足不等式xy6即x6y，填表发现规：（1）点A与点P横坐标相同时，点A的纵坐标有无数多个，且大于点P的纵坐标. （2）满足不等式x6y的点都在直线上方，在直线上方的点也都满足不等式x6y（可以证明一下）. （3）满足不等式x6y的点都在直线下方，在直线下方的点也都满足不等式x6y.

结论：不等式x6y的解集是直线xy6左上方的平面区域；不等式x6y的解集是直线xy6右下方的平面区域.直线xy6称为这两个区域的边界（画成虚线表示区域不包括边界）. 3、结论：

（1）一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式AxByC0表示直线AxBy

C0某一侧所有点组成的平面区域（直线画成虚线）；不等式AxByC0表示的平面区域包括边界，把直线画成直线. （2）对于直线AxByC0同一侧的所有点，把它的坐标x,y代入AxByC，所得C0同一侧取某个特殊点x0,y0作为特殊点，由

的符号都相同，因此只需在直线AxByAx0By0C的符号就可以断定AxByC0表示的是直线AxByC0哪一侧的平面区域. 直线定界，特殊点定域.（特殊点常取原点0,0，但当C0时可取0,1等）

三、例题分析：

例1、

画出x4y4表示的平面区域

分析：先画边界（用虚线表示），再取点判断区域，即可画出.（教师分析，学生作图）

引出观察法：当B>0时，Ax+By+C>0时表示直线上方的平面区域；Ax+By+C<0时表示直线下方的平面区域. y3x12例2、用平面区域表示不等式组的解集.

x2y分析：不等式组表示的平面区域是每个不等式表示区域的重叠部分，观察不等号的大小即可判断在直线哪方. 四、课堂练习：

1、画出下列不等式（组）表示的平面区域

（1）4x3y12 （2）yx （3）x1

xy50,（4）xy0,（好学生可以再继续求面积 36）

x32、课本86页

五、课堂下结：

1、直线定界，特殊点定义.2、观察法. 六、教学反馈：（有课件，直接用课件讲课，根据班级程度可以调整讲课节奏，适当增加难度，可以证明在上方区域，要讲观察法，时间还是很紧张的，所以前面不能说太多.）

第一课时

3.3.1

二元一次不等式（组）与平面区域（二）

教学目的：能够正确的画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，并能解决相关问题；能解决逆向思维的相关题.

教学重点：掌握二元一次不等式（组）表示的平面区域，并能灵活应用. 教学难点：逆向思维. 教学过程：

一、复习准备：

画二元一次不等式（组）表示的平面区域的方法：

1、直线定界，特殊点定义.2、观察法. 二、新课讲解：

例1、画出不等式(x2y1)(xy4)0表示的平面区域. x2y10x2y10解：原不等式可化为：或

xy40xy40在同一直角坐标系下分别画出两个不等式组的平面区域，两个阴影部分的并即为原不等式的平面区域.注意直线画虚线

例2、已知三角形中，A3,1,B1,1,C1,3,写出ABC区域所表示的二元一次不等式组. 解：有两点式得出直线AB,BC,AC的方程并化简得：AB:x2y10；BC:xy20

x2y10 AC:2xy50，依据ABC的图形可写出不等式组：xy20

2xy50x2y10例3、求不等式组2xy50表示的平面区域的面积.（与上练习比就是稍难求一些）

yx2xy20解：由得A1,3.同理得B1,1,C3,1.

2xy50AC224225,

而点B到直线2xy50的距离为d215565

5所以SABC1ACd6 （图略）

2例4：若点A1,2和点B1,1在直线y3xm0的两侧，求m的取值范围.

解：（程度好的可以不讲）依题意：只需231m131m0，解得

m2,1 （同侧也能解决）

例5：画出不等式xy1所表示的平面区域. o解：法1：（去绝对值号），原式可化为：1.xy1,x0,y0

2o.xy1,x0,y

0

3o.xy1,x0,y

0

4.xy1,x0,y

0根据不等式画出每个表示的平面区域，它们并起来即为所求区域，结果为以坐标原点为中心，两坐标轴为对角线的正方形.（师画第一个，注意先画直线表示区域，在限制x,y的范围，另三个让学生练习）

法2：（对称性）先画出不等式xy1(x0,y0)的平面区域，（第一象限的三角形区域）

不难看出，不等式具有对称性：关于x,y轴对称，所以将第一象限的图像对称即可. 练习：画出不等式yx表示的平面区域. 例5：在平面直角坐标系中，已知平面区域Aox,yxy1,且x0,y0，求平面区域

Bxy,xyx,yA的面积.

（程度好的可讲，上面求面积的题当课下练习）

mnmn解：设xym,xyn,则x

,y22mnmn221m1所以，原条件为mn0，即mn0

mn0mn0画出其所表示的平面区域（图略），其面积为S1

三、课堂小结：

灵活转化为二元一次不等式求平面区域；逆向题；求面积题. 四、作业：小页子

五、教学反馈：



第三课时

3.3.1

简单的线形规划问题（一）

教学目的：了解线性规划的意义；了解线性规划的约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法. 教学重点：掌握简单的线性规划问题的解决. 教学难点：从实际情景中抽象出一些简单的二元线形规划问题，并能加以解决.

教学过程：

一、教学准备：

1、二元一次不等式（组）的解集表现形式是直角坐标系中的点集，是直线某一侧的平面区域. 方法：直线定界，特殊点定域；观察法. ACA2、直线AxByC0的斜截式方程为：yx(B0)，显然斜率是. BBB二、新课讲解：

例1、某工厂用A，B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？

教师分析——师生共同列出表格——转化成数学模型——列出目标函数——求最值

析：设甲、乙两种产品分别生产x,y件，获得利润为z万元

x2y84x16依题意：x,y满足：，z2x3y

4y12x0,y0（1）

画出不等式组表示的平面区域. （2）

z2x3y变形为y2z2zx，这是斜率为，在y轴上的截距为的直线，当z33332x，平行移动至阴影部分，3变化时，可以得到一组互相平行的直线.令z=0.画出l0:y观察对应z达最大值的直线l1. （3）

求两条直线的交点坐标.（M(4,2)）

（4）

代入z2x3y得：zmax14

所以，该厂采取甲、乙分别生产4件、2件时利润最大. 给出定义：线性约束条件——一组对变量的约束条件，且都是一次式

目标函数——把要求的最大值的函数

线形目标函数——目标函数是关于变量x,y的一次解析式

线形规划——在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

可行解——满足线形约束条件的解(x,y)叫做可行解

可行域——由所有可行解组成的集合

线性规划问题解题方法是：图解法.

步骤是：（1）画出可行域.

（2）画出初始直线，平行移至可行域，观察出最优解.

（3）求出某两条直线交点，即最优解.

（4）代入目标函数的结果. 以上步骤可简记为：（1）画.（2）移.（3）（求）.（4）代. 需注意的是：要比较直线斜率；最优解往往在区域边界处取得. 例3、在上一节例4中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元。那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？

解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润z万元.目标函数为zx0.5y,画出可行域.把zx0.5y变形为y2x2z，得到斜率为2，在y 轴上的截距为2z，随z变化的一组平行直线.由此观察出，当直线y2x2z经过可行域上的点M时，截距2z为最大，即z最大. 18x15y66,

解方程组 得M的坐标为x2,y2

4xy10所以，zmaxx0.5y3

由此可知，生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大利润为3万元. 三、课堂练习：

yx1、求z2xy的最大值，使x、y满足约束条件xy1

y15x3y152、求z3x5y的最大值和最小值，使x、y满足约束条件yx1

x5y3四、课堂小结：

1、相关概念.2、图解法求线性规划问题：（1）画.（2）移.（3）（求）.（4）代. 五、作业：

课本91页1、2、3 六、教学反馈：

第四课时

3.3.1

简单的线形规划问题（二）

教学目的：应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，以提高解决实际问题的能力. 教学重点：能解决简单的二元线形规划问题

教学难点：从实际情景中抽象出一些简单的二元线形规划问题，列出线性目标函数并求最值并能加以解决.

教学过程：

一、复习准备：

1、线性约束条件，线性目标函数，线性规划，可行解，可行域，最优解. 2、图解法：（1）画.（2）移.（3）（求）.（4）代. 二、新课讲解：

例1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg的食物A含有0.105kg的碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg? 食物(kg) 碳水化合物(kg) 蛋白质(kg) 脂肪(kg) A 0.105 0.07 0.14 B 0.105 0.14 0.07

分析:①先将数据整理列表, 请学生回答总成本与A、B食物的含量之间的关系，进一步确立变量和目标函数

②分析约束条件，

请学生回答总成本与A、B食物的含量变化而变化，这两者的含量是否任意变化，受什么因素制约？列出约束条件

③图解法求解

④老师引导，学生复习解线性规划应用题的一般步骤

例2、（课本91页）已知1xy3求4x2y的取值范围. 1xy1解：画出可行域，可以看到是平行四边形. 画出初始直线l0:y2x（21），平移至可行域，观察得到z最大值与最小值对应的直线. 求出直线的交点A0,1和B2,1；代入目标函数得4x2y得最大值是10，最下值是2. 变式1、约束条件不变，求目标函数z2x2y的最值. 析：（引出无穷多最优解）初始直线与边界直线平行，就有无穷多最优解，任取边界直线上一点即可，取达最小值的最优解（1，0），最小值为2；取达最大值的最优解（2，1），最大值为6. 变式2、约束条件不变，求目标函数zx2y的最值，

1z析：目标函数可化为yx斜率为正，直线在y轴上的截距越大z反而越小，得出最优解22

为A1,2和B1，0得到最小值是-3，最大值是1. 变式3、约束条件不变，求目标函数zx2y2的最值. 析：目标函数不再是线性的，但根据它的几何意义即可. zx2y2可以看成以原点为圆心的圆，而z为此圆半径的平方，所以只需寻求原点到可行域的距离的最值即可，最小值为原点到直线xy1的距离的平方，d1212，d

222最大值显然是点1,2或2,1到原点的距离的平方为5，所以z,5

2变式4、约束条件不变，求1y的最值. x析：y0,

可以看成坐标原点与可行解构成直线的斜率，观察得：kx三、课堂练习：

2ab41、已知变量a,b满足约束条件，求4a2b的取值范围（用图解法）. 1ab2

（答案：（3，1）处取得最大值10，（1/2,3/2）处取得最小值-1）

yx2、设x、y满足约束条件x2y2，求zx3

y的最小值（在点（-2，2）处取得最小值-8）x20x13、设x、y满足约束条件0y2，求z2y2x4的最值.（（1，1）小4（0，2）大8）

2yx1xy31224、设x、y满足约束条件yx1，则zx1y1的最小值是（

）. 2y0x1y11,1）

5、设x、y满足约束条件y0，求的取值范围.（xxy0