1.3 二项式定理（通用）优秀教学设计

《二项式定理》

林方华

【教材分析】

1，教材的地位及作用

本节内容是初中学习多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式。它在本章学习中起着承上启下的作用。学习本节的意义主要在于

（1）由于二项式定理与概率理论中的二项分布有其内在的联系，所以本节内容为学习后面的概率知识打下基础。

（2）由于二项式系数都是一些特殊的组合数，从而，深化对组合数的认识；

（3）二项式定理是解决某些整除性，近似计算等问题的重要途径。 2教学重点、难点

重点：1.二项式定理及结构特征

，2.通项公式的灵活应用

难点：掌握运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程。

【目标分析】

1、知识目标：理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式的有关特征，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题。 2、能力目标：在学生对二项式定理形成过程的参与探讨过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力，以及学生的化归意识与知识迁移的能力。

3、情感目标：

（1）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，培养学生解决数学问题的兴趣和信心. （2）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程， 使学生体会到数学内在的和谐对称美. 【教法分析】

本节课的教法采用启发式教学，并以启发学生主动学习，积极探求为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境，通过教师引导，使学生从熟悉的多项式乘法入手，利用组合的有关知识加以分析、归纳，探索出二项展开式的规律，培养学生观察、联想、归纳能力和从特殊到一般的数学思想方法。

1

【教学过程】

（一）开门见山，引入课题

创设情境：7天后的这一天是星期几呢？

100天后的这一天呢？ 1008变式：今天是星期三，若

天后的这一天是星期几呢？

引入：二项式定理研究的是(ab)n的展开式，初中已经学***方公式，

(ab)3

和

(ab)4

也可以用多项式的展开来计算，那么(ab)n的展开式是什么？

【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题. （二）合作探究，发现规律

探究1、你从下面四个二项式的展开式中能发现哪些规律性的东西？

(ab)2a22abb2

(ab)3a33a2b3ab2b3

(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4

提出问题：

4(ab)(1)、以

为例，展开式中各项字母的形式是什么？展开式项的次数是什么？有几项？

43(ab)(ab)(2)、

展开式中各项的系数与

展开式中各项的系数有没有关系？

n(ab)(3)、你能猜想 展开式的形式吗？

(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)432234a,ab,ab,ab,b

形式，即 . 由多项式乘法知，其展开式的每一项是由4个括号各取一项相乘而得，故每一项都是aibjij4各项系数是由相同的项合并而成的，有几项其系数就是几，故

：

4400C

CaC4b

，含a

的项只能由每个括号取a不取b（或说取0个b）而得，即4系数为4；40133113CCaCbab441含的项只能由3个括号取a，余下的1个括号取b而得，即

，系数为；

2222222CaCbCab424含的项只能由2个括号取a，余下的2个括号取b而得，即，系数为；

2

113333CaCbCab434含的项只能由1个括号取a，余下的3个括号取b而得，即,系数为；

444CbC4b4含的项只能由4个括号都取b而得，即

，系数为； 4

n(ab)提问：的展开式怎么写呢？ 引导学生回答：可以对b分类：

0nCn不取b，得a

1n1Cab

取1个b，得n2n22Cn取2个b，得ab

…………

knkkCn取k个b，得ab

…………

n1n1Cab取n-1个b，得n

nnCb取n个b，得n

将这n+1个式子相加，可得二项式定理

：

0n1n(ab)nCnaCnab

rnrrCnabnnCnb(nN)【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备. (三) 形成定理，说理证明

探究3：根据探究2的结果，验证(ab)4的展开式，尝试写出(ab)n的展开式。

0n1n1knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)———

二项式定理

证明：(ab)n是n个(ab)相乘，每个(ab)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有2n项（包括同类项），其中每一项都是ankbk(k0,1,n)的形式，对于每一项ankbk，它是由k个(ab)选了b，n－k个(ab)选了a得到的，它出现3

k的次数相当于从n个(ab)中取k个b的组合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

【设计意图】通过仿照(ab)3、(ab)4展开式的探究方法，由学生类比得出(ab)n的展开式．二项式定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式．由特殊的二项式来分析猜想一般的 (ab)展开式，培养学生由特殊到一般的思维方式，培养学生大胆探索的精神

。

(四) 熟悉定理，简单应用

二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式）

1. 项数：共有n１项. 2. 次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n．

各项的次数都等于n．

012knk3. 二项式系数: 依次为Cn，这里Cn,Cn,Cn,,Cn,,Cn(k0,1,,n)称为二项式系数. n（此处强调区分系数和二项式系数）

knkk4. 二项展开式的通项: 式中的Cnab叫做二项展开式的通项. 用Tk1表示. knkk即通项为展开式的第k１项: Tk1=Cnab（此处强调通项为展开式的第r+1项）

5(12X)例1.求

的展开式

12x)

解：（001122334455C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C（2x)C(2x)555555

2345110x40x80x80x32x5（12x)求

展开式第三项以及其二项式系数，求x3项的系数

5222

T3C5(2x)40xC5210

二项式系数为3333

x项T4C5(2x)-80x3x

项系数-80【设计意图】熟悉二项展开式，培养学生的运算能力．

4

(五) 归纳总结，布置作业

1、课堂小结：

（1）回顾二项式定理的推导过程。

（2）强调二项式定理的公式特征。

2、课本作业：Ｐ113 1、（1），2、（2），3、（3） 【设计意图】

（1）通过小结，强化本节课所学的知识，使学生对本节课的知识脉络更加清晰。

（2）通过作业巩固所学知识，发现和弥补教学中的疏漏与不足，强化基本技能训练，培养学生良好的学习习惯和品质。 五、评价分析

1、本节课以“二项式定理”的形成过程为主线，让学生思维由特殊到一般，演绎、归纳，得出定理，整节课以学生为主体，师生互动，体现了新课标的教学理念。

2、在例题、练习、作业的配备上，力求让学生处理每一个问题都必须有所思考，有所收获。总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．

板书设计：

（一）定理推导 二项式定理 （二）例题讲解

（三）小结

1）回顾二项式定理的推导过程。

2）强调二项式定理的公式特征。 二次、三次、四次的二例1 项式展开 规律总结 得出结论：二项式定理

变式

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