2.基本不等式教案（名师）

《第一讲：2.基本不等式（第一课时）》教案

【教材分析】

本节课选自人民教育出版社A版《普通高中课程标准实验教科书数学选修4-5不等式选讲》的第一讲的第2小节。本内容是学生必修部分学习过的知识，亦是学生学习后面将要接触到的不等式重要的基础，所以本节内容在教材中起着承上启下的重要作用。除此以外，基本不等式在高考中也是常考内容。常见的考察题型主要有：利用基本不等式解决“范围”问题（例如函数的值域，变量的范围，实际问题的最值等），证明不等式。

【学情分析】

本节课的教学对象是本校高二17班学生，本班学生的数学成绩在年级中属于中等偏下，学生基础不扎实，大部分学生的数学思维能力比较弱。从平时的做题情况来看，虽然基本不等式已经是学过的内容，但是大部分学生对基本不等式的应用仍然模棱两可，只知其一不知其二。但是学生情商较高，喜欢与教师互动，且已经初步具备独立学习的能力和小组合作的能力。

基于以上分析，我将本节课分为两个课时，第一课时主要解决基本不等式在求范围上的应用，第二课时解决不等式的证明问题。本堂课为第一课时。

【教学目标】

1.

知识目标：理解重要不等式和基本不等式的证明和几何解释。掌握基本不等式“和定积最大，积定和最小”在求范围上的应用。

2.

能力目标：通过自主预习提高学生的独立学习能力，通过课堂小组活动提高学生的合作探究能力。

3.

情感目标：提高数学独立分析问题，解决问题，自主学习的能力。

【重难点】

重点：重要不等式和基本不等式的证明和几何解释

难点：基本不等式“和定积最大，积定和最小”在求范围上的应用

【教学过程】

一、情景引入（约5min）

这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好客。

（1）这个图形中的四个直角三角形的面积和与大正方形的面积有什么样的不等关系？

（2）它们什么时候相等？

（教师以以上两个问题出发，引出重要不等式）

二、知识讲解（约8min）

1、定理1：重要不等式

若a,bR,则a2b22ab，当且仅当ab时取到等号。

注：重要不等式的证明即为完全平方差公式的应用。赵爽弦图可以看做是重要不等式的一种几何解释，除了这种解释外还可以有其它的几何解释，例如教材所举例子，留待学生自己学习。

2.

定理2：基本不等式

如果用a替重要不等式中的a，b替重要不等式中的b，即可得到基本不等式。

定理2：若a0,b0,则abab，当且仅当ab时取到等号。

2注：基本不等式又叫做均值不等式，其证明就是重要不等式的应用。教师在引导学生推导过程中注意取等条件的推导。

衔接问题：重要不等式可以用几何图形来解释，那基本不等式是否也能用几何图形来解释呢？

3、基本不等式的几何意义

问题：如图所示，ABC中，C90,CDAB,O为AB的中点，ADa,DBb，

（1）请用用a,b表示OC。

（2）请用a,b表示CD。

（3）CD和OC的大小关系满足什么样的不等关系？它们可能相等吗？

小结：基本不等式的几何含义：直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高。

衔接：基本不等式的特征是联系了两个正数的和与乘积，是关于和与积的不等关系。下面我们来看基本不等式的应用——例1.

三、典型例题（循序渐进，运用自如）（约7min）

（例1选自教材例3，本例题是基本不等式的典型题，可以看做是基本不等式的几何背景，本例的证明并不困难，关键是要学生掌握本例得出的结论。）

例1、求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；

（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。

小结：积定和最小，和定积最大。构造定值求最值

三、小组活动（约18min）

给学生5min左右的讨论时间，然后请同学回答。

讨论一：(1)当x>0时，求yx（3）当x<0时，求yx1最小值。

x1的最大值。

x注：此题设置的目的是让学生一定要明白基本不等式运用的首要条件是变量必须为正数。

讨论二：（1）、当x0，求f(x)（2）、已知x0,y0,x的最大值。

2x1191，求xy的最小值。

xy注：此题需要通过变形构造定值，是学生解题中的难点，这个讨论不要求一定要让学生来解决，但是教师要注意引导学生使用基本不等式解决最值问题必须要有定值，若没有则需要构造。构造的方法千变万化，一定要结合题目条件来解决。

小结：运用基本不等式求最值条件：一正二定三相等。

四、课堂小结

完成下面表格

重要不等式

基本不等式

基本不等式相关知识

不等式

对a,b的要求

取等条件

基本不等式的应用

基本不等式的语言描述

基本不等式的几何含义

五、课后练习

练习1、设x、y是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy的最大值是_______________________.

练习2、设x0,y0且x2y1，求1x1的最小值.

y

练习3、若正数a,b满足abab3，则ab的取值范围是

．

练习4：求函数f(x)

练习5、认真阅读并理解课本例4，完成下列题目。

一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有45cm

的面积，问应如何设计十字型宽x及长y，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上

的铜线最节省．

【板书设计】

2x2x1x12的值域。

屏幕

2.基本不等式

（重要不等式）数 形

a替a，b替b

（基本不等式）数 形

和定积最大，积定和最小。

（求最值）