阅读与思考 海伦和秦九韶PPT及课堂实录内容

海伦和秦九韶教学设计

四川省荣县中学校

汪利秦

教材分析

《海伦和秦九韶》是人教A版2003课标版必修5第一章第二节的阅读与思考，是学生学习了正弦和余弦定理，推导了已知三角形的两边及其夹角求三角形面积之后，对求三角形面积的进一步拓展学习。海伦公式和秦九韶的“三斜求积”公式弥补了已知三角形三边求三角形面积的空白，并在生产实际中的应用很广泛。本阅读材料可以作为一个引子可以激起学生进一步了解他们二位的兴趣，从而激发起学习数学的兴趣。

学情分析

我校处于西南地区，我们班学生一半以上是留守儿童，由于家庭和学习压力等因素，网上学习机会少，自学能力相对较差。在学生眼中的数学学***多就是定义、定理、公式的学习，还有就是练习。这一节课对于学生来说是新颖的，不只是公式学习，还有人文文化的学习。高一年级的学生有一定的解三角形的基础与类比学习的能力，但是学生计算能力和计算技巧比较差。

教学目标

1.知识与能力：

（1）了解“三斜求积”公式，记忆海伦公式，掌握公式推导的方法；

（2）能较熟练选择、应用海伦或“三斜求积”公式计算三角形的面积。

（3）数学语言转化能力。

（3）掌握基本量思想。

2.过程与方法：

回顾旧知，接着问题引入，引发学生学习的兴趣，整个公式推导用类比的学习手法，学生很容易入手，在推导过程中，培养学生的计算能力以及计算技巧。

3.情感态度与价值观：

在公式的推导过程，采用小组讨论的形式进行，既培养学生的运算能力，又培养学生的团体合作精神。

通过海伦和秦九韶的人物介绍，学生可以学习他们身上勇于探索的精神。激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。

教学重难点

海伦和“三斜求积”公式的推导

突破重难点

运用基本量思想，采用类比的学习方法，从一般到特殊的学习方法，计算过程中仔细分析式子结构，运用平方差公式和完全平方公式。

设计理念

以学生为主体，知识由浅入深、层层深入，增强学生学好数学的心里体验，产生学习数学的兴趣，体验在学习中获得成功。除了公式的推导，还对海伦和秦九韶进行人物介绍，增

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加学生的人文文化知识，让学生明白数学不仅仅是定义、定理和公式，它来源于生活，生活处处有数学。在教学中，采用小组合作学习，增强学生合作意识，体验分享的乐趣，培养团体协作能力。在教学过程中，体现基本量思想。

教学策略

以学生为中心的合作学习策略

教学步骤及时间安排

1.旧知回顾(2分钟）

2.新知探究（20分钟）

3.人物简介（3分钟）

3.公式应用（10分钟）

4.课堂小结（1分钟）

5.作业（4分钟）

板书设计

海伦和秦九韶

一．知识回顾

三.公式应用

二．公式推导

教学过程

（一）旧知回顾：

1.上节课推导的三角形面积公式：

在△ABC中，已知两边长a，c以及sinB，求S△ABC

；

2.余弦定理中我们得到三个推论：（从三角形三边计算出三角形三个角）

cosA=

；

cosB=

；

cosC=

；

<设计说明> 在本节中主要运用前面所学的三角形的余弦推论求出三角形一个角的余弦，转化为这个角的正弦，将其带入已知三角形两边及其夹角的求面积公式SABC行公式推导。

1acsinB进2（二）新课导入：

我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）的著作《数书九章》卷五“田域类”里有个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知为几何.”

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转化为数学语言为下列图形：

我们能够已经学习过的知识可以直接求解吗？

<设计说明> 运用秦九韶的《数书九章》卷五“田域类”的一段记载以提问的形式导入新课。在前面我们已经学习了一段时间的解三角形的内容，在这里可以考察学生的画图能力和数学语音转化能力。同时，以古汉语导入这节课，可以激起学生学习的兴趣。

（三）新知探究

已知：在△ABC中，三边长分别为a，b，c，求S△ABC.

问：已知三角形三边，能否直接用含三角形三边的公式直接求解呢？

<设计说明> 用含三角形三边的公式直接求该三角形的面积，这对平时运算能力较差的学生是很大的一个冲击，对于求知欲望强的同学，这个问题直接吸引住了他们的眼球。所以，在此，我以问题的形式，引导学生思维，并规定了所求面积的表达式的出现形式。已知三角形三边，能否直接用含三角形三边的公式直接求解呢？

122c2a2b2ca得到公式S422之后，简单分析式子结构。问：能否讲以上式子化为根式下是一次的式子呢？

<设计说明> 已经得到了只含三角形三边的式子表示三角形的面积，通过观察在式子的根号下面每条边都是2次的，很明显计算量很大。所以顺其自然地抛出一个问题，能否化简，并且指明了化简的方向是要降次，降低了运算的难度。

得到公式Sabcbcaacbabc之后，简单分析式子结构。问：2222abc2能否讲以上式子进一步化简呢？接下来教师带着学生分析出可以引入半周长p进行进一步化简为Sppapbpc。化简之后进行式子分析与式子成立与否的探究。

<设计说明> 已经得到了根号下面是1次的式子，对于学生来说心情是雀跃的。在教师的引导下引入半周长，将式子化简并探究式子成立与否，在体现数学的严密性的同时，也体现了勇于探索，追求卓越的精神。

接着，鼓励并告诉学生他们已经推导出了影响古今中外的两个已知三角形三边求面积的公式，秦九韶的“三斜求积”公式与海伦公式。

<设计说明> 学生已经推导出了两个公式影响古今中外的公式，在表扬学生的同时，也是对他们的肯定。同时，可以激发学习数学的兴趣与自信心，也为接下来的人物简介做铺垫。

人物简介

<设计说明> 在学生已经推导出了两个公式的情况下进行人物简介，拉近了同学们和这两位先贤之间的距离，他们不仅仅只是教科书上的两个人物介绍。人物简介，我只用了简短的文字和语言介绍，是想通过这作为一个引子，希望同学们在课余时间可以查阅资料做进一步了解。

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（四）公式应用：

在△ABC中，已知两边长a=15，b=14，c=13，求S△ABC.（用两种方法）

<设计说明> 用两种方法做在前面出现过的这一个题，加深同学们对公式的记忆，也训练计算技巧，特别是遇见大数开方的时候的处理方法。学生展示自己的计算成果，体会分享的快乐。

练习：

1.在△ABC中，角A，B，C，所对边分别为a，b，c，若a=17cm，b=3cm，c=8cm，则△ABC的面积是多少？

<设计说明> 巩固公式与计算技巧，教师规范书写。

（五）课堂小结：

1. 海伦和秦九韶的“三斜求积”公式的推导；

2. 重要思想：基本量思想

（六）作业：

教材P20

习题1.2

A组

11 教学反思

（一）学生反思

课后，我与班上部分学生进行了交流：

朱卓耀：“在推导的过程中，思路清晰，但是计算难度很大。在老师的提醒之下，我发现了可以运用平方差公式和完全平方差公式进行化简。”

杨程林：“我之前有了解海伦公式，所有当老师让我们去推导海伦公式的时候，我很高兴，就在黑板上用勾股定理进行了论证。我以为我是完全正确的时候，你提醒了我只考虑了锐角三角形，没有考虑直角三角形和钝角三角形的情况。我才意识到我的证明是不全面的，在课后我马上就将另外两种情况进行了证明。”（然后将他的证明过程与我分享）

丁吴双：“我本身就很喜欢文学，当推到了公式你给我们介绍海伦和秦九韶的时候，我觉得他们两位很厉害，我决定利用课余时候去查找他们两位的资料进行进一步的学习。”

朱虹宇：“现在可以直接用三角形三条边带入计算三角形的面积，很合我的胃口，我喜欢。”

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另外，还有一部分学生给我说计算难度大，公式选择有难度，我都给予了一一的讲解。

（二）教师反思

这一节课是人教A版2003课标版必修5第一章第二节的阅读与思考，在备课阶段我就在想以什么样的形式呈现这一节课，如何让学生在学习的过程中提升人文文化素养。我之前设计了三套方案：

方案一：学生回家自己先查阅资料，然后课堂呈现。但是出于学情考虑，我放弃了这一方案。

方案二：课堂中先进行人物简介，然后给出海伦公式，让学生进行证明。但是考虑到学生的参与度，我放弃了这一方案。

方案三：由问题层层引入，让学生推导公式，然后再告诉学生这就是秦九韶的“三斜求积”公式和海伦公式，然后再引出他们的人物简介，接着再进行公式应用。这样可以提高学生的参与度，增加学生学习的积极性，增强学习的自信心。同时，以本节课作为一个铺垫，激起学生的求知欲，希望他们在课后去查阅资料进一步学习。

在教学过程中，我与学生一起突破了本节课地的重难点——公式的推导。我将课堂的大部分时间交给学生，以学生为主体，让学生自主探究、合作学习，我只是从旁引导。学生达到了我的预期，甚至在上台展示推导过程的环节中，给了我一个很大的惊喜。其中一个学生顺着我的思路推到了我想要地结果。另一个学生并没有顺着我的思路进行推导，而是运用了勾股定理进行推导，这是我提前没有预料到的，所以学生真的有无限可能，我们应该给孩子们一个展现自我的平台，我们只需在旁及时跟正、引导就可以了。

学生的计算问题还是一个存在并将长期存在地问题，我发现有的学生平方和开方都还不会、容易出错。在今后的教学中，我将继续关注这一问题，通过例题板书、计算技巧的教授、限时训练等手段，争取能够有效地提高学生的计算能力。

在教学过程中，我也意识到了自己的一些不足，面对镜头紧张，刚上课的时候，连基本的表达都断断续续的，最后的这节课的总结性结束语：“愿同学们在今后地学习和生活中，善于继承和发扬，勇于探索，追求卓越！”都没能讲出应有的气势。

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