信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响优质课教学设计

一．教材分析

新课改在上次教材改革增加了正态分布的基础上，对该部分内容作了调整，删除了标准正态分布和正态分布函数表，对正态分布的要求是：通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图），认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，同时因为中心极限定理等支撑正态分布的相关统计理论并未放置到高中，所以正态分布对高中生科普性的目的更强一些，对其概念及函数式的数学推导均不做深究。

1.本节课的地位与作用

从知识内容讲，本节通过高尔顿板试验引入正态曲线，从描述曲线形状的角度给出正态分布密度函数式，通过数形结合得到正态曲线的特点，最后直接给出了3原则。

从教材体系讲，作为选修2-3第二章“随机变量及其分布”的最后一节内容，正态分布是连续型随机变量的概率分布，在这儿既是对前面离散型随机变量的一种补充与拓展，也是必修3中用样本估计总体知识的后续，充分体现了新课改中知识螺旋上升的精神。

从应用价值讲，在自然现象、生产和生活实际中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布，它是概率统计中最常见的一种分布，其具有众多优良的性质，对工程控制、医学检测、社会生产、生活都有着很好的指导作用。

2.教学目标

知识与技能：1.认识正态曲线的特点；2.知道正态曲线所表示的意义；

3.知道一些服从正态分布的典型随机事件；4.了解3原则。 过程与方法：1.通过高尔顿板试验，体验知识的形成过程；

2.通过多媒体辅助，探求正态曲线的特点，增强数形结合的思想方法。

情感态度与价值观：1.激发学生参与数学探究活动的热情；

2.增强学生将数学知识应用于生产生活实践的意识；

3.能够对与数学有关的社会和生活问题作出合理的判断。

二．学情分析及教学问题诊断

1.学情分析

知识：经过必修部分的学习，掌握了频率分布直方图，知道总体密度曲线的形成过程，能用数形结合的思想方法探讨简单复合函数的性质。

能力：观察、推理能力较强，敢于探究，喜欢交流，但是动手与协作能力有待提高。

心理：不喜欢枯燥的数学课堂，期待有趣，有用，快乐的数学学习。

2.教学问题诊断

在必修三的学习中，学生已经掌握了统计等知识，这为学生理解利用频率分布直方图来研究小球的分布规律奠定了基础，但正态分布的密度函数表达式较为复杂抽象，学生理解比较困难。正态分布有涉及到要用积分的思想求曲面梯形面积的问题，高中阶段学生掌握的积分知识来求正态密度函数的定积分还是很困难的，学生想通过定积分来求，这里老师要做好引导，只要求学生知道正态分布在axb的概率就是通过用定积分来求曲边梯形的面积，而中学阶段正态分布的题目主要是根据正态曲线的对称性、3σ原则及结合概率为1来设置的，所以正态曲线的特点和及其所表示的意义既是重点也是难点。

三.教法与学法

结合教材分析与学情分析，在本节教学中，我采用的教法是：学案导学、试验探究、多媒体辅助。指导学生采用的学法是：自主探究 协作学习 学练结合

新课程标准倡导积极主动，勇于探索的学习方式。苏霍姆林斯基认为：人的内心里有一种根深蒂固的需要——总想感到自己是发现者、研究者、探寻者。本节课是概念课教学，应

该有一个让学生动手实验，参与讨论、发现规律、总结特点的探索过程。本着教师为主导、学生为主体的指导思想，本节课通过高尔顿板试验让学生很好地体验了知识的生成过程，同时几何画板与电脑模拟试验的辅助，为学生探究创设了很好的条件，让学生对很抽象的正态分布有了很深刻的认识，学生亲历探究得到知识的同时，体会了研究问题的思想与方法。 四、教学设计

教学

环节

创

设

情

景

9.26号刚在我市举办了“绿色马拉松，美丽衡水湖”国观看马拉松鸣枪开际马拉松比赛，在我们为家乡自豪，为运动员欢呼的同时，赛的视频，及男子你知道其中蕴含的数学知识吗？其中男子全程赛成绩，通全程赛成绩频率分过Excel统计作图，呈现这样一个频率分布直方图。

布直方图

分

组

试

验

教学内容设计

学生活动设计

设计意图

取材于社会热点的情景快速调动了学生的好奇心，调动了学生的已有知识，为导入新知做准备。

探究一：

（1）你能预测小球会掉入哪个球槽内吗？

（2）你能预测小球掉入哪些球槽的概率会高一些吗？

（3）做完试验后，请观察各球槽内的小球堆积高度有什么特征？

学生经过观察小球在槽中的堆积形状以及各组的交流对比发现下落的小球在槽中的分布是有规律的．

探究二：

（1）用铅笔作出各球槽内的小球个数的频率分布直方图，频率分布折线图

（以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率值为纵坐标）

（2）观察直方图、折线图有何特征？

学生分组分工做高尔顿板试验，并填写学案上的报告让全体学生都能亲自体验，对正态分布来源与形成单进行（探究一）。

有了一个直观的认

学生作小球的频率分布直方图与折线图，并观察、对比图形特征。

识。试验的同时让学生对结果进行定向猜测，激发探究意识与学习兴趣，同时为导入新知做铺垫。

教会了学生处理统计问题的基本方法，锻炼了学生的动手、观察、交流能力。进一步为引入新知进行热身。

生成

函数

1.教师用几何画板动态演示曲线的形成过程

2.展示德国10马克的纸币上印有著名数学家高斯的头像，左边还印有一条曲线，这就是刚才几何画板生成的那条曲线。这是给高斯的最高荣誉，同时也传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这条曲线也是我们本节课的学习重点—正态密度曲线

3. 教师从描述曲线形状的角度自然引入了正态密度曲线的函数表达式：

观察发现

逐一分析各字母的意义

水到渠成地引出新知，激发了学生学习热情，认识数学的人文价值

将形式复杂的函数式进行了分解，将难度分散

加深对函数式认识

,x12ex222,x,

先独立思考，然后组内讨论

在这里，为随机变量的均值，为标准差，可以用样本的均值与标准差来估计。

4. 例1、下列函数是正态密度函数的是（ B ）

1A.f(x)e2

22x2

B.f(x)2e

建构

概念

(x)222,,(0)都是实数

C.f(x)1e22(x1)24D.f(x)1e2x22探究三

（1）频率分布直方图中矩形面积表示什么？

（2）正态曲线与x轴围成的面积为多少？小球落在对称轴x两侧的概率各是多少？ （3）当我们去掉高尔顿板试验最下边的球槽，并沿其底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，用X表示落下的小球第一次与高尔顿板底部接触时的坐标．我们由直方图得到的正态曲线图中的阴影面积表示什么？

联系旧知识，给出新定义

给出正态分布的概念： 一般地，如果对于任何实数a＜b，随机变量X满足：

组内探究

回顾旧知

Pa＜Xbba,xdx，则称X的分布为正态分布，常记作X~N,2．

通过设疑，引起学生对问题的深入思考；通过原有知识，确保了新内容的自然引入，同时加深了对定积分的理解。以旧引新，虽然概念较抽象，但这样的处理过程学生不会觉得突兀，易于接受新知，也培养了学生把前后知识联系起来进行思维的习惯。



探

究

性

质

探究四：

(1)曲线在坐标平面的什么位置？曲线与x轴相交吗？

(2)曲线有没有对称轴？

(3) 曲线有没有最高点？坐标是？

（4）曲线与x轴围成的面积是多少？

例2、标准正态总体的函数为联系图象，结合正态密度函数解析式，思考并讨论进行探究四，总结完善前四条性质

先独立思考，组锻炼了学生观察归纳的能力，体现了归纳分类、化难为易、数形结合的思想，以及协作学习的能力

巩固性质

针对解析式中含有两个参数，学生较难独立分析参数对曲线的影响，这里通过固定一个参数，讨论另一个参数对图象的影响，这样的处理大大降低了难度。

对性质（5）（6）加以运用。

f(x)1e2x22,x(,).

内讨论交流

分别固定参数（1）证明f(x)是偶函数；

（2）求f(x)的最大值；

（3）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。

引导学生分别固定参数有一个系数12(x)幂指数为22 2,，探究图象变化解析式中前，后面是一个以e为底数的指数形式，探究图象变化

学生组内讨论，数几何画板动态演示图象变化特征先后固定参数和，通过变化参数和的值得到一系列正态曲线

例3、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（C）

A.曲线b仍然是正态曲线；

B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等; C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为概率密度曲线的总体的期望大2; D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2。

例4．设两个正态分布N(μ1，σ12)(σ1＞0)和N(μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有(

) A．μ1＜μ2，σ1＜σ2

B．μ1＜μ2，σ1 >σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2

形结合得到曲线性质（5）（6）

回归

实际

（一）首先回顾高尔顿板试验模型体验服从正态分布的随机变量的特征

经验表明：一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用之和，它就服从或近似服从正态分布．

比如：正常生产条件下同类产品的质量指标（如零件的尺寸，电容器的电容量等；）；

一定条件下生长的小麦的株高，穗长；

某地区同龄人群的身高，体重等都近似地服从正态分布。

（二）其次认识3原则及其应用价值

首先通过电脑模拟高尔顿板试验，槽数较多时，通过大量小球的分布发现几乎不可能落入两边。

然后通过几何画板给出随机变量X落在区间,,2,2]与3,3]这三个区间内的概率，引入3原则的内容。

并指出：在3,3区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。所以，在实际应用中，我们通常认为服从于正态分布的随机变量只取3,3之间的值，简称3原则。

例5.某地一建桥工地所需要的钢筋的长度服从正态分布，μ=8,σ=2,质检员在检查一大批钢筋的质量时,发现有的钢筋的长度小于2米.这时,他是让钢筋工继续截割钢筋呢，还是让钢筋工停止生产检修钢筋切割机呢？

回顾高尔顿板试验小球逐个下落的过程，并结合实际思考符合正态分布的随机变量的特征

观察电脑模拟试验，观察槽数较多，小球个数很多时两年槽的分布情况

小组内分析讨论

例题

学生只需知道生活中这些随机变量近似服从正态分布，具体的道理远非高中阶段可以解释的清楚，所以我的定位是把这些知识结合高尔顿板试验普及给学生。

锻炼观察归纳能力

通过例5了解正态分布的应用价值，同时也是本节课的落脚点，指导生产生活。

课堂

小结

1.

知识归纳： 正态密度曲线→正态分布的意义

↓ ↓

正态密度曲线特点 正态分布的实例

↓

参数对正态曲线的影响

2. 思想方法： 数形结合

作业布置： 必做：（1）课本P75习题2.4 A组 1.2；

（2）结合本节内容阅读必修三79页“生产过程中的质量控制图”

选做：调查9月份新学年体检中本班学生的身高分布是否近似服从正态分布

通过小结使学生对本节课的知识结构容和思想方法两方有一个清晰的认面进行课堂小结．

识,同时使学生自己内化知识，查漏补缺,使学生在认识上达到一个新的高度．

引导学生从知识内

板书设计

2.4正态分布

一、正态密度曲线 三、正态曲线的特点 多媒体展示区

二、正态分布的概念 四、生活中的正态分布

（1）变量特征 （2）3原则

五、教学反思

本节课中环节线、知识线、活动线，三线合力达成了本节的三维教学目标。通过高尔顿板试验让学生很好地体验了知识的生成；多媒体辅助与数学教学的有机整合，大大提高了教学的有效性；尊重了学生的认知特点和已有经验，分组教学，合作探究，很好地突破了教学重难点。生活情境与数学知识的相辅相成，充分展示了数学

源于生活

指导生活。

谢谢各位评委老师，您的指导将是我努力前进的方向！