1.不等式的基本性质教案2

§1

不等式的性质

1.1 实数大小的比较 1.2 不等式的性质

1．理解实数大小与实数运算间的关系，会用作差(商)法比较大小．(重点) 2．理解并掌握不等式的性质．(重点、易错易混点) 3．能用不等式的性质解决一些简单的问题．(难点)

[基础·初探] 教材整理1

实数大小的比较

阅读教材P1～P3“思考交流”以上部分，完成下列问题．

1．实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．

2．两实数大小与运算间的关系

(1)a＞b⇔a－b＞0；a＜b⇔a－b＜0；a＝b⇔a－b＝0. aaa(2)当a>0，b＞0时，b＞1⇔a＞b，b＜1⇔a＜b；b＝1⇔a＝b.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) a(1)若b>1，则a>b.(

) (2)∀x∈R，x2>2x.(

) 1

(3)若a>b>c且a＋b＋c＝0，则a>0，c<0.(

) 【解析】

(1)×

因为b的正负不确定．

(2)×

因为x2－2x＝x(x－2)，其正负随x的范围的变化而改变．

(3)√

因为a>b，a>c，所以2a>b＋c，

即3a>a＋b＋c＝0，所以a>0，又因为c

∴3c

【答案】

(1)×

(2)×

(3)√

教材整理2

不等式的性质

阅读教材P1～P3“思考交流”以上部分，完成下列问题. 性质1

性质2

性质3

对称性

传递性

可加性

推论

可乘性

推论1

性质4

推论2

推论3

推论4

a＞b⇔b＜a

如果a＞b，b＞c，那么a＞c

如果a＞b，那么a＋c＞b＋c

如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d

如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；

如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc

如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd

如果a＞b＞0，那么a2＞b2

如果a＞b＞0，那么an＞bn(n为正整数)

11如果a＞b＞0，那么an＞bn(n为正整数)

填空(填不等号)：

(1)若a>b＋c，则a－b________c. 11(2)若a>b>0，则a________b. (3)若a>b，cb>0,0

利用不等式的性质可得．

【答案】

(1)>

(2)<

(3)>

(4)> [质疑·手记] 2

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型] 实数大小的比较

(1)已知x＞3，比较x3＋3与3x2＋x的大小；

(2)若m＞0，试比较mm与2m的大小．

【精彩点拨】

(1)只需考查两者差同0的大小关系；

(2)注意到2m＞0，可求商比较大小，但要注意到用函数的性质．

【自主解答】

(1)x3＋3－3x2－x

＝x2(x－3)－(x－3)

＝(x－3)(x＋1)(x－1)．

∵x＞3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)＞0，

∴x3＋3＞3x2＋x.

mmmm(2)2m＝2，

mm当m＝2时，2＝1，此时mm＝2m，

mm当0＜m＜2时，0＜2＜1，2m＜1，

∴mm＜2m.

mm当m＞2时，2＞1，2m＞1，∴mm＞2m. 3

比较大小的常用方法及步骤

1．求差法：a≥b⇔a－b≥0，a≤b⇔a－b≤0.

一般步骤是：作差→变形→判号→定论．

变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段．

a2．求商法：当a>0，b>0时，把比较a，b的大小转化为比较b与1的大小关系，此即为作商比较法．

理论依据是不等式的性质：

aa若a>0，b>0，则b≥1⇔a≥b，b≤1⇔a≤b.

一般步骤为：作商→变形→与1比较大小→定论．

[再练一题] 1141．已知x，y均为正数，设m＝x＋y，n＝，试比较m与n的大小.

x＋y【导学号：94910000】

114【解】

m－n＝x＋y－` x＋yx＋yx＋y2－4xyx－y24＝xy－＝＝，

x＋yxyx＋yxyx＋y∵x，y均为正数，

∴x＞0，y＞0，xy＞0，x＋y＞0，(x－y)2≥0，

∴m－n≥0，即m≥n. 利用不等式性质判断命题的真假

对于实数a，b，c判断下列命题的真假．

(1)若a>b，则ac

(2)若ac2>bc2，则a>b；

(3)若aab>b2；

(4)若a|b|；

4

(5)若c>a>b>0，则ab>. c－ac－b【精彩点拨】

本题考查不等式性质的应用及逻辑推理能力．解答此题需要依据实数的基本性质，实数的符号的运算法则以及不等式性质，然后经过合理逻辑推理即可判断．

【自主解答】

(1)由于c的符号未知，因而不能判断ac，bc的大小关系，故该命题是假命题．

(2)由ac2>bc2知c≠0，而c2>0，

∴a>b，故该命题是真命题．

aab；

a<0ab2，

b<0∴a2>ab>b2，故该命题是真命题．

(4)两个负实数，较小的离原点远，其绝对值反而大，故该命题是真命题．

a>b>0⇒－a<－b<0，⇒0

(5)c>a>b>0

⇒

11>>0，abc－ac－b⇒>，故该命题是真命题．

c－ac－ba>b>0

1．判断命题的真假往往用举反例予以否定，或从条件入手，看是否推出与结论一致的结论．

2．运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质．

[再练一题] 2．判断下列命题是否正确，并说明理由．

ab(1)若a＞b，则ac2＞bc2；(2)若c2＞c2，则a＞b；

5

11(3)若a＞b，ab≠0，则a＜b；(4)若a＞b，c＞d，则ac＞bd. 【解】

(1)错误．当c＝0时不成立．

ab(2)正确．∵ c2≠0且c2＞0，在c2＞c2两边同乘以c2，∴a＞b.

11(3)错误．a＞b⇔a＜b成立的条件是ab＞0.

(4)错误．a＞b，c＞d⇒/ ac＞bd，例如当a，b，c，d为负数时不成立．

[探究共研型] 不等式性质的简单应用

1111探究1

甲同学认为a＞b⇔a＜b，乙同学认为a＞b＞0⇔a＜b，丙同学认为11a＞b，ab＞0⇔a＜b，请你思考一下，他们谁说得正确？

【提示】

甲说得不正确．当a>0，b<0时不成立；乙说得是正确的，但不11全面，当0>a>b时也有a

x探究2

根据60

【提示】

不能直接用x的取值范围去减或除以y的取值范围，应严格利用不等式的基本性质去求得取值范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“取值范围”间的联系．

正确解法应是：

x－y＝x＋(－y)，

所以需先求出－y的取值范围；

x11＝x×，所以需先求出yyy的取值范围．

111∵28

60x84又60

20x即11

设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，在求f(－2)的取值范围时有如下解法：

1≤f－1≤2，由2≤f1≤4，

32≤a≤3，得30≤b≤2.

∴3≤f(－2)＝4a－2b≤12. 上述解法是否正确？为什么？

【精彩点拨】

f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，而a＋b与a－b中的a，b，不是独立的，是相互制约的．本题错在多次运用同向不等式相加(单向性)这一性质上，导致f(－2)的范围扩大．因此需要将f(－2)用a－b与a＋b整体表示．

【自主解答】

不正确．

设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，

则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，

即4a－2b＝(m＋n)a－(m－n)b.

m＋n＝4，m＝3，于是解得

m－n＝2，n＝1.∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．

而1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，

∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.

利用不等式的性质证明不等式，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果能由不等式的性质直接进行推理论证，则严格按不等式性质成立的条件论证；否则可以先分析需要证明的不等式的结构，再利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件.

[再练一题] ee3．若a>b>0，c. a－c2b－d2【证明】

∵c－d>0，

∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.(*)

7

由(*)式知(a－c)2>(b－d)2>0，

∴11>.

b－d2a－c2ee.

2<b－da－c2又∵e<0，∴即ee>. a－c2b－d2[构建·体系]

1．设a∈R，则下面式子正确的是(

) A．3a＞2a

1C.a＜a

【答案】

D 112．已知m，n∈R，则m＞n成立的一个充要条件是(

)

【导学号：94910001】

A．m＞0＞n

C．m＜n＜0 B．n＞m＞0 D．mn(m－n)＜0 B．a2＜2a

D．3－2a＞1－2a

n－m1111【解析】

∵m＞n⇔m－n＞0⇔mn＞0⇔mn(n－m)＞0⇔mn(m－n)＜0.

【答案】

D 3．若6≤x≤13,2≤y≤7，则x－y的取值范围是________．

【解析】

∵2≤y≤7，∴－7≤－y≤－2，又∵6≤x≤13，

8

所以－7＋6≤x－y≤－2＋13，即－1≤x－y≤11.

【答案】

[－1,11] 4．已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是________．(填序号) 11①a＜b；②ab＞b2；

a＋bba③a＞b；④b＜1. 11【解析】

∵a＜b＜0，∴a＞b，①不成立；由b＜0，a＜b，∴ab＞b2，②a＋bababa成立；又a＜b＜0，∴0＜a＜1，b＞1，因此a＞b不成立；b＝b＋1＜1不成立，即①，③，④不正确，只有②成立．

【答案】

②

5．已知一次函数f(x)＝ax＋b，且－1≤f(－1)≤2，－2≤f(2)≤3，求f(3)的取值范围．

－1≤－a＋b≤2，【解】

∵

－2≤2a＋b≤3.14又∵f(3)＝3a＋b＝－3(－a＋b)＋3(2a＋b)，

1013∴－3≤f(3)≤3.

我还有这些不足：

(1)

(2)

我的课下提升方案：

(1)

(2)

9