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人教版九年级数学

第27章

《相似》

单元提优测试题

完成时间：100分钟

满分：120分

姓名

成绩

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的，请将该选项的标号填入表格内）

题号

答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1．如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在________处（

）

A．P1

B．P2

C．P3

D．P4

第1题图 第2题图 第3题图

2．如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（

）

A．4

B．42

C．6

D．43 3．如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC等于（

）

A．1∶4

B．1∶3

C．2∶3

D．1∶2 4．如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（

）

A．4.5

B．5

C．5.5

D．6

第4题图 第5题图 第6题图

5．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则BE∶CE＝（

）

A．1∶3

B．1∶4

C．1∶5

D．1∶25 6．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（

）

1099625A．18

B．

C．

D．

553

7．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：

甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．

乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．

对于两人的观点，下列说法正确的是（

）

图1

图2 A．两人都对

B．两人都不对

C．甲对，乙不对

D．甲不对，乙对

8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点的坐标为（

）

A．（3，2）

B．（3，1）

C．（2，2）

D．（4，2）

第8题图 第9题图 第10题图

9．如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P的坐标为（

）

A．(0，0)

B．(0，1)

C．(－3，2)

D．(3，－2) 10．锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，MP⊥BC，NQ⊥BC得矩形MPQN.设MN的长为x，矩形MPQN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是（

）

A．

B．

C．

D．

二、填空题（每题3分，共12分）

11．如图，AB，CD相交于点O，OC＝2，OD＝3，AC∥BD.EF是△ODB的中位线，且EF＝2，则AC的长为

．

第11题图 第12题图 第13题图

12．如图，在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于1点E，点M在DE上，且ME＝3DM.当AM⊥BM时，则BC的长为

．

13．如图，三个正方形的边长分别为2，6，8，则图中阴影部分的面积为

．

14．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM=13AB．若四边形ABCD的面积为157，则四边形AMCD的面积是

．

三、解答题（共78分）

15．（8分）如图，AD与BC相交于E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，

111求证：AB＋CD＝EF.

16．（10分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边

长是多少？

17．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连接PQ.若以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值．

18．（10分）如图所示，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，

且∠BEF＝90°.

（1）求证：△ABE∽△DEF；

（2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．

19．（10分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC, AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E.求证：DE2＝BE·CE.

20．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=55，求BD的长．

21．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F.求证：AB·AF＝AC·DF.

22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12 cm，OB＝6 cm，点P从点O开始沿OA边向点A以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BO边向点O以1 cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用t(单位：秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么当t为何值时，△POQ与△AOB相似？

人教版九年级数学

第27章

《相似》

单元提优测试题

参

考

答

案

得

分

评卷人

姓名

成绩

一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的，请将该选项的标号填入表格内）

题号

答案

1 C 2 B 3 D 4 A 5 B 6 B 7 A 8 A 9 C 10 B 1．如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在________处（

C

）

A．P1

B．P2

C．P3

D．P4

第1题图 第2题图 第3题图

2．如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（

B

）

A．4

B．42

C．6

D．43 3．如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC等于（

D

）

A．1∶4

B．1∶3

C．2∶3

D．1∶2 4．如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（

A

）

A．4.5

B．5

C．5.5

D．6

第4题图 第5题图 第6题图

5．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则BE∶CE＝（

B

）

A．1∶3

B．1∶4

C．1∶5

D．1∶25 6．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（

B

）

1099625A．18

B．

C．

D．

5537．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：

甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．

乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间

距均为1，则新矩形与原矩形不相似．

对于两人的观点，下列说法正确的是（

A

）

图1

图2 A．两人都对

B．两人都不对

C．甲对，乙不对

D．甲不对，乙对

8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点的坐标为（

A

）

A．（3，2）

B．（3，1）

C．（2，2）

D．（4，2）

第8题图 第9题图 第10题图

9．如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P的坐标为（

C

）

A．(0，0)

B．(0，1)

C．(－3，2)

D．(3，－2) 10．锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，MP⊥BC，NQ⊥BC得矩形MPQN.设MN的长为x，矩形MPQN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是（

B

）

A．

B．

C．

D．

得

分

评卷人

二、填空题（每题5分，共20分）

11．如图，AB，CD相交于点O，OC＝2，OD＝3，AC∥BD.EF是△ODB的中位线，8且EF＝2，则AC的长为

．

3

第11题图 第12题图 第13题图

12．如图，在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于1点E，点M在DE上，且ME＝3DM.当AM⊥BM时，则BC的长为

8

．

13．如图，三个正方形的边长分别为2，6，8，则图中阴影部分的面积为

21

．

14．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM=13AB．若四边形ABCD的面积为157，则四边形AMCD的面积是

1

．

得

分

评卷人

三、解答题（共90分）

15．（10分）如图，AD与BC相交于E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，

111求证：AB＋CD＝EF. 证明：∵AB∥EF，

∴△DEF∽△DAB. EFDF∴＝. ABDB又∵EF∥CD，

∴△BEF∽△BCD. EFBF∴＝. CDBDEFEFDFBFBD∴＋＝＋＝＝1. ABCDDBBDBD111∴＋＝. ABCDEF16．（10分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？

解：设正方形的边长为x mm，则EF＝x mm，

∵AD⊥BC，AD＝80 mm，

∴AK＝(80－x)mm. ∵正方形EFHG内接于△ABC，∴EF∥GH. EFAK∴△AEF∽△ABC.∴＝，

BCAD

80－xx＝.解得x＝48. 12080∴这个正方形零件的边长是48 mm. 即17．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连接PQ.若以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值．

解：由题意，得BP＝5t，QC＝4t，AB＝10 cm，BC＝8 cm. ①∵∠PBQ＝∠ABC，

BPBQ∴若△BPQ∽△BAC，则还需＝，

BABC5t8－4t即＝.解得t＝1；

108②∵∠PBQ＝∠CBA，

BPBQ∴若△BPQ∽△BCA，则还需＝，

BCBA5t8－4t32即＝.解得t＝. 8104132综上所述，当t＝1或时，以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．

4118．（12分）如图所示，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，

且∠BEF＝90°. （1）求证：△ABE∽△DEF；

（2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．

解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠A＝∠D＝90°. ∴∠ABE＋∠AEB＝90°. ∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°. ∴∠ABE＝∠DEF.∴△ABE∽△DEF. （2）∵AB＝AD＝4，E为AD的中点，

∴AE＝DE＝2. 由(1)知，△ABE∽△DEF，

ABAE42∴＝，即＝. DEDF2DF∴DF＝1.∴CF＝3. ∵ED∥CG，

∴△EDF∽△GCF. EDDF21∴＝，即＝. GCCFGC3∴GC＝6. ∴BG＝BC＋GC＝10. 19．（12分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC, AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E.求证：DE2＝BE·CE.

证明：连接AE，

∵EF是AD的垂直平分线，

∴AE＝DE, ∠ADE＝∠DAE. ∵AD平分∠BAC,

∴∠BAD＝∠DAC. ∵∠ACE＝∠ADC＋∠DAC，

∠BAE＝∠DAE＋∠BAD，

∴∠ACE＝∠BAE. 又∵∠AEC＝∠BEA，

∴△ACE∽△BAE. AECE∴＝. BEAE∴AE2＝BE·CE，

即DE2＝BE·CE. 20．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=55，求BD的长．

解：如图，作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，

则∠M=90°，

∴∠DCM+∠CDM=90°，

∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，

22∴AC=AB+BC2=25，

∵CD=10，AD=55，

∴AC2+CD2=AD2，

∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，

∴∠ACB+∠DCM=90°，

∴∠ACB=∠CDM，

∵∠ABC=∠M=90°，

∴△ABC∽△CMD，

AB1∴=，

CM2∴CM=2AB=6，DM=2BC=8，

∴BM=BC+CM=10，

∴BD=BM2DM2=10282=241，

21．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F.求证：AB·AF＝AC·DF. 证明：∵AD⊥BC，E是AC的中点，

∴DE＝EC. ∴∠EDC＝∠C. ∵∠BAC＝∠ADC＝90°，

∴∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠C＝90°. ∴∠BAD＝∠C. ∵∠BDF＝∠EDC，∴∠BDF＝∠BAD.

又∵∠F为公共角，

BDDF＝. DAAF∵∠ADB＝∠ADC＝90°，

∠BAD＝∠C，

BDAB∴△ABD∽△CAD.∴＝. ADCAABDF∴＝，即AB·AF＝AC·DF. ACAF

22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12 cm，OB＝6 cm，点P从点O开始沿OA边向点A以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BO边向点O以1 cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用t(单位：秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么当t为何值时，△POQ与△AOB相似？

解：①∵∠POQ＝∠BOA，若△POQ∽△BOA，

6－ttOQOP则＝，即＝.解得t＝2；

OAOB126②∵∠POQ＝∠AOB，若△POQ∽△AOB，

6－ttOQOP则＝，即＝.解得t＝4. OBOA612综上所述，当t＝2或t＝4时，△POQ与△AOB相似．

∴△BDF∽△DAF.∴