正弦、余弦、正切函数的简单应用教案范文

正弦、余弦、正切的简单应用

1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

a2b2c2

2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：

定 义

表达式

取值范围

关 系

A的对边0sinA1

正asinA

sinA

斜边c弦

(∠A为锐角) A的邻边0cosA1

余bcosA

cosA

斜边c弦

(∠A为锐角) A的对边tanA0

正atanA

tanA

A的邻边b切

(∠A为锐角) A的邻边cotA0

余bcotA

cotA

A的对边a切

(∠A为锐角)

sinAcosB

cosAsinB

sin2Acos2A1

tanAcotB

cotAtanB tanA1(倒数)

cotA

tanAcotA1

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

B sinAcosB由AB90sinAcos(90A)

对斜边

c

cosAsin(90A)cosAsinB得B90Aa

边

b

A C 邻边

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

tanAcotB

cotAtanB

cotAtan(90A)

得B90A 由AB90tanAcot(90A)

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)

三角函数

sin

0°

0

10 -

30°

1245°

222260°

3

21290°

1

0-

0

cos

tan

cot

3

23

3

1 1 3

3

33

6、正弦、余弦的增减性：

当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：

1

当0°<<90°时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。

8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：a2b2c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 9、应用举例：

(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

铅垂线仰角俯角视线水平线h

ih:llα视线

(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即i写成1:m的形式，如i1:5等。

把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么ih。坡度一般lhtan。

l3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向

线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向）

，

南偏东45°（东南方向），

南偏西60°（西南方向），

北偏西60°（西北方向）。

2

要点一：锐角三角函数的基本概念

一、选择题

1.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan的值是（ ）

3A．

5434 C． D．

345角的对边3. 【解析】选C. tan角的邻边4 B．12.（2008·威海中考）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB＝（ ）

3A．210

B．310 C．3 4 D．

310

10【解析】选D. tanAABBC1,设BC=k,则AC=3k,由勾股定理得AB3AC2BC2(3k)2k210k,sinBAC310

AB103.（2009·齐齐哈尔中考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为3，AC2，则sinB的值是（ ）

2

A．2334 B． C． D．

32433得AD=3.

sinB=sinDAC2.

2.AD3【解析】选A.连接CD,由⊙O的半径为

3

4.（2009·湖州中考）如图，在Rt△ABC中，ACBRt，BC1，AB2，则下列结论正确的是（ ）

A．sinA133

B．tanA

C．cosB

D．tanB3

222

【解析】选D在直角三角形ABC中，BC1，AB2，所以AC＝3；所以11333sinA＝，cosA＝，tanA；sinB＝，cosB＝，tanB3；

222325.（2008·温州中考）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD2，AC3，则sinB的值是（ ）

A．2

3 B．334

C．

D．

243

【解析】选C.由CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，得AB=2CD=4.∴sinBAC3

AB4

4

6.（2007·泰安中考）如图，在△ABC中，ACB90，CDAB于D，若AC23，AB32，则tanBCD的值为（ ）

A D B

C （A）2 （B）答案：B 二、填空题

263 （C）

（D）

3327.（2009·梧州中考）在△ABC中，∠C＝90°， BC＝6 cm，sinA的长是 cm．

【解析】sinA答案：10 BC63,解得AB=10cm

ABAB53，则AB58.（2009·孝感中考）如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则

sin ．

【解析】因为P（3，4），所以OP＝5，所以sin答案：

5 4；

54；

5

9.（2009·庆阳中考）如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，sinA菱形的面积= cm2．

3，则这个5

【解析】sinADEDE3.解得DE=6cm.∴SLINGABDE10660cm2. AD105答案：60 三、解答题

10.(2009·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE =

12．

13C A E DBO

（1）求半径OD；

（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，

则经过多长时间才能将水排干？ 【解析】（1）∵OE⊥CD于点E，CD=24（m），

∴ED =CD=12（m）．

在Rt△DOE中，∵sin∠DOE =∴OD =13（m）．

（2）OE=OD2ED2= 132122=5（m）

∴将水排干需：5÷0.5=10（小时）．

EDOD12

=12，

13

6

E是BC边上的点，DFAE，AEBC，11.（2009·綦江中考）如图，在矩形ABCD中，垂足为F，连接DE．

（1）求证：△ABE≌△DFA；

（2）如果AD10，AB=6，求sinEDF的值．

【解析】（1）在矩形ABCD中，

BCAD，AD∥BC，B90° DAFAEB DFAE，AEBC

AFD90°=B

AEAD △ABE≌△DFA． （2）由（1）知△ABE≌△DFA

ABDF6

在直角△ADF中，

AFAD2DF2102628

EFAEAFADAF2

在直角△DFE中，

DEDF2EF26222210

sinEDF

EF210．

DE21010

7

12.（2008·宁夏中考）如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=的周长和tanA的值．

4，AB=15，求△ABC5

【解析】在Rt△ABC中, ∠C=90°, AB=15 sinA=BC4=, ∴

BC12 AB5ACAB2BC21521229

∴周长为36,tanABC124.

AC9313.（2008·肇庆中考）在Rt△ABC中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sinA和tanA的值. 【解析】在Rt △ABC中，c=5，a=3．

∴ bc2a252324

a3

c5a3 tanA

． b4∴ sinA

8

14.（2007·芜湖中考）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanBcosDAC，

(1) 求证：AC=BD；

(2)若sinC12，BC=12，求AD的长．

13【解析】(1)∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC．

∴∠ADB=90°，∠ADC=90°． 在Rt△ABD和Rt△ADC中，

∵tanB=ADAD，cosDAC=

BDAC又已知tanBcosDAC

ADAD=．∴AC=BD．

BDAC12(2)在Rt△ADC中，

sinC，故可设AD=12k，AC=13k．

13

∴DCAC2AD25kADAD13ktanBcosDAC

BC13k5k12BD2k,AD8.3要点二、特殊角的三角函数值

一、选择题

1.（2009·钦州中考）sin30°的值为（ ）

A．3

2B．2

2C．

12D．3

3答案：C

9

2.（2009·长春中考）．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AOC45°，OC2，则点B的坐标为（ ）

A．(21)，

B．(1，2) C．(211)，

答案：C 3.(2009·定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（

）

A．8米 答案：C 4.（2008·宿迁中考）已知为锐角，且sin(10)3，则等于（ ）

2D．(1，21)

B．83米

C．4383米

D．米

33Ａ．50

Ｂ．60

Ｃ．70

Ｄ．80

答案：Ｃ

5.（2008·毕节中考） A（cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A1的坐标是（ ）

13113333A．2，3 B．2，3 C．2， D．2，2 3答案：A 6.（2007·襄樊中考）计算：cos245tan60cos30等于（ ）

（A）1 （B）2

（C）2

（D）3

答案：C

10

二、填空题

7. （2009·荆门中考）4cos30sin60(2)1(20092008)0=______．

【解析】4cos30sin60(2)1(20092008)0

331()122213()1232

4答案：3

28.（2009·百色中考）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点C的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是 米．（结果保留根号）．

答案：43 9.（2008·江西中考）计算：（1）sin60cos30【解析】sin60cos30答案：1

4sin60tan45的值是 。

cos301

．

21331311.

222242410.（2007·济宁中考）计算答案：0 三、解答题

11.（2009·黄石中考）计算：3－1+(2π－1)0－【解析】3－1+(2π－1)0－3tan30°－tan45°

33tan30°－tan45°

31111330

11

112.（2009·崇左中考）计算：2sin60°3tan30°(1)2009．

3【解析】原式=233311=0．

23013.（2008·义乌中考）计算：3sin602cos4538

【解析】3sin602cos45383

要点三、解直角三角形在实际问题中的运用

一、选择题

1.（2009·白银中考）某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（

）

3222 =2.5 22

A．8米 B．83米 C．4383米 D．米

33【解析】选C. 梯子的长至少为

483（米）. 03sin6012

2.（2009·衢州中考）为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道倾斜角α的正切值是（ ）

A．

B．4 C．答案：A 3.（2009·益阳中考）如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）

A. 5cos B. 55 C. 5sin D.

cos

sin5B A

14117

D．417

答案：B 4.（2009·兰州中考）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）

A．5m B．6m C．7m D．8m

【解析】选A 由坡度为0.75知，相邻两树间的水平距离为4m，相邻两树间的垂直距离为h，则

h0.75，则h＝3m，所以坡面距离为5m；

4

13

5.(2009·潍坊中考)如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得BAD30°，在C点测得BCD60°，又测得AC50米，则小岛B到公路l的距离为（ ）米．

A．25 B．253

C．1003

3 D．25253

【解析】选B 过点B作BE⊥AD 于点E，在直角三角形BAE中，tan300BEBEBE0,tan60,CE在直角三角形BCE中，则。

00tan30CEtan60BEBE50,解得BE＝253；

所以AE-CE=AC=50,即tan300tan600BE,

AE则AE二、填空题

6.（2009·沈阳中考）如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为 3 ，则坡面AC的长度为 m．

5

【解析】因为sin∠ACB =答案：10. 7.（2009·衡阳中考）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为25米，则这个坡面的坡度为_________. 答案：1:2

8. （2009·南宁中考）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔402海里

14 AB63,所以AC=10 ACAC5

的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为 _____________海里（结果保留根号）．

【解析】∵ACPCAPsin450402PC40403

tan30033240, 2BC∴ABBCAC40340

答案：40340

9 (2009·安徽中考) 长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m．



【解析】当梯子与地面夹角为450时，梯子顶端高为4sin45022(m)；

当梯子与地面夹角为600时，梯子顶端高为4sin60023(m)，

所以梯子顶端升高了2(32)m;

答案：2(32)；

10.(2008·庆阳中考)如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，

15

cosBAC3，则梯子长AB = 米. 4

答案：4 11.（2007·湖州中考）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75°，如果拖把的总长为1.80m，则小明拓宽了行路通道_______________m．（结果保留三个有效数字，参考数据：sin15°≈26，cos15°≈0.97）

答案：1.28

三、解答题

16

12.（2009·庆阳中考）如图（1），一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定．如（2）是如图（1）中窗子开到一定位置时的平面图，若∠AOB=45°，

∠OAB=30°，OA=60cm，求点B到OA边的距离．（3≈1.7，结果精确到整数）

【解析】如图，过点B作BC⊥OA于点C

∵

∠AOB=45°，∴∠CBO=45°，BC=OC． 设BC=OC=x，∵∠OAB=30°，

∴

AC=BC×tan60°=3x．

∵ OC+CA=OA，∴x+3x=60， ∴ x=60≈22（cm）． 13即点B到OA

边的距离是22 cm．

13.（2009·郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高

17

度，测角仪AB的高度为1.5米，测得仰角为30°，点B到电灯杆底端N的距离BN为10米，求路灯的高度MN是多少米？（取2=1.414，3=1.732，结果保留两位小数）

【解析】在直角三角形MPA中，30°，AP=10米

MP=10·tan300 =10×因为AB=1.5米

所以MN=1.5+5.77=7.27米 答：路灯的高度为7.27米

14.（2009·眉山中考）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔

18 3≈5.773米

3

B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离。

【解析】如图，过B点作BD⊥AC于D

∴∠DAB＝90°－60°＝30°，∠DCB＝90°－45°＝45°

设BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝xtan30°＝3x

在Rt△BDC中，BD＝DC＝x BC＝2x

又AC＝5×2＝10 ∴3xx10， 得x5(31)，

∴BC25(31)5(62)（海里）

答：灯塔B距C处5(62)海里

15.（2009·常德中考）如图，某人在D处测得山顶C的仰角为30o，向前走200米来

19

到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i=1∶0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，．

3≈1.73，结果保留整数）

1【解析】设山高BC =x，则AB=x， 2tan30BCx，得

1BD200x2(231)x400， 解得x400400(231)≈162米

23111

16.（2008·广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的

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倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C

在同一水平地面上．

（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）

（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。

(参考数据：21.414,31.732,62.449 )

【解析】（1）在Rt△ABC中，

52(m)

25BCABcos452(m)

2ACABsin45Rt△ADC中

AC52(m)

sin30AC5CD6(m)

tan302AD

ADAB≈2.07(m)

改善后的滑滑板会加长2.07m．

（2）这样改造能行．

因为CDBC≈2.59(m)，而632.59

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