正投影特级教师教学实录

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29．1 投影（二）

第2课时 几何体的投影

复习引入

教师讲解：上一节课我们介绍了正投影的概念．这节课我们将介绍线段、平面、几何体的正投影．

探究新知

（一）线段的正投影

教师讲课并演示：如课本图29．1-7，把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三不同位置；（1）铁丝平行于投影面；（2）铁丝倾斜于投影面；（3）•铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有公共点）．大家可以观察一下三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？

ABABABA1PB1A2B2A3(B3)

教师让学生通过观察作出回答，然后教师加以总结：通过观察，我们可以发现：

1．当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB=A1B1．

2．当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB>A2B2．

3．当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A3．

（二）平面多边形的投影

教师提出问题：如课本图29．1-8，把一块正方形硬纸板P（例如正方形ABCD）•放在三个不同位置：

1．纸板平行于投影面．

2．纸板倾斜于投影面．

3．纸板垂直于投影面．

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三种情形下纸板的正投影各是什么形状？

教师要求学生观察后回答．学生回答后教师总结：

1．当纸板P平行于投影面Q时，P的正投影与P的形状、大小一样．

2．当纸板P倾斜于投影面Q时，P的正投影与P的形状、大小发生变化，面积变小了．

3．当纸板P垂直于投影面Q时，P的正投影成为一条线段．

当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、•大小完全相同．人们经常根据上述规律绘制图纸．

（三）几何体的正投影

教师提出问题：画出如课本图29．1-9摆放的正方体在投影面P上的正投影．

1．正方体的一个面ABCD平行于投影面P（见图（1））．

2．正方体的一个面ABCD倾斜于投影面P，上底面ADEF垂直于投影面P，并且上底面的对角线AE垂直于投影面P．（见图（2））

教师要求学生通过观察回答上述问题，同时向学生提示，不妨用一个盒子作为模型，观察它在墙壁上的投影．

学生回答后老师总结：教师将一个用铁条焊成的正方体框架进行正投影演示，这样把正方体的几条棱的影子就被凸现出来，这几条棱的投影就是它在投影面上的正投影．

1．当正方体在如课本图29．1-9图（1）的位置时，正方体的一个面ABCD•与及其相对的另一面投影面平行，这两个面的正投影是与正方体的一个面的形状、•大小完全相同的正方形A′B′C′D′．正方形A′B′C′D•′的四条边分别是正方体其余四个面（这些面垂直于投影面）的投影．因此，正方体的正投影为正方形A′B′C′D′，•它与正方体的一个面是全等关系．

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2．当正方体在如课本图29．1-9图（2）的位置时，它的面ABCD和面ABGF倾斜于投影面，它们的投影分别是矩形A′B′C′D′和A′B′G′F′；正方体其余两个侧面的投影也分别是上述矩形；上、下底面的投影分别是线段D′F′和C′G′．因此，•正方体的正投影为矩形F′G′C′D′，这个矩形的长等于正方体的底面对角线长，矩形的宽等于正方体的棱长．矩形上、下两边中点连线A′B′是正方体的侧棱AB•及它所对的另一条侧棱EH的投影．线段A′B′把矩形一分为二．

随堂练习

（一）课本第112页练习．

（二）附加题

如图1，这个几何体叫圆台，有一束平行光线从正面投向圆台，•在后面的一个屏幕上得到一个影子，这个影子应该是什么图形？请画出这个图形；若有一束平行光线从左边投向这个圆台，在右边的屏幕上得到一个影子，这个影子应是什么图形？请画出这个图形；若有一束光线从上向下投向这个圆台，在下面得到一个影子，这个影子是什么图形？请画出这个图形．画出的这三个图形与上节所学的三视图有什么联系？

学生做完附加题后教师讲解：一束平行光线从正面投向这个圆台，在后面的屏屏幕上得到一个影子是一个等腰梯形，这个梯形就是圆台的主视图的轮廓线，同样，当光线从左、上两次投影时，得到的是物体的左视图与俯视图的轮廓线，只要把得到的影子中补上必要的线就是这个圆台的三视图．（如图2所示）

课时总结

物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．

教后反思: __________________________________________________________________________ 数学备课大师

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