数学活动主要内容及教案内容

折叠问题教学设计

一.

【教学目标】

1.能通过观察分析将平面图形翻折过程中，几何元素与几何位置关系的变化情况，并能充分利用不变关系解决相关问题、培养空间想象能力. 2.会分析探究几何中位置关系问题和几何量的取值，培养探究思维能力. 3、熟练应用一题多解和一题多变发散学生思维 4、通过一题多解和多变激发学生学习兴趣培养。

二、【教学重难点】

1.能通过观察分析将平面图形翻折过程中，几何元素与几何位置关系的变化情况，并能充分利用不变关系解决相关问题、培养空间想象能力. 2.会分析探究几何中位置关系问题和几何量的取值，培养探究思维能力. 3、熟练应用一题多解和一题多变发散学生思维 4、通过一题多解和多变激发学生学习兴趣培养。

掌握折叠问题，我们要把握以下方法：

1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．

2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．

4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形

5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．

三、学习过程：

1、解决问题引入：教科书人教版8下第64页，有一个数学活动，其操作过程是：

第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展开。第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM。同时得到线段BN（如图2）

2）二例题解答：

例题1．例1、如图所示：点E为矩形ABCD的边AB上一点。将矩形ABCD沿CE对折，点B恰好与AD上的点F重合。

（1）发现不变性：CF=

，EF=

（2）若AB=3,BC=5，求长度：DF=

，AF=

。

（3）在（2）的条件，求BE的长。

（

方法一：勾股定理若AB方法二：相似（三垂直模型）A3-xE1xF13-x4553解:AFDA1F142D3-x3-xExxxxE533C5在△AFE与△DCF中∠1=∠3 ∠E=∠F=90°∴△AFE∽△DCFAFEFDCFC解:=3,∵∠A=90°∴EA²+AF²=EF²∴（3-x)²+1²=x²解得∵EF⊥FC∴∠1+∠2=90°又四边形ABCD为矩形∴∠D=90°∴∠2+∠3=90°∴∠1=∠3相似面积x53BC=5，求长度：DF=

1x355X3勾股面积

，梳理知识，提炼方法，AF3-x1x1x相似13-xx53x455等面积3=勾股定理

反思：1、图形的折叠，往往使隐含条件明显化或分

散条件集中化。２、解决正方形、矩形的折叠问题，往往

相似三角形、等面积等方转化为直角三角形、

法列出方程求解。变式3

变式1：如图，矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点A落在A’处，BA’交CD于点E，AD=4，AB=8，A’XE8-XC则DE的长为5.D分析：3求线段DE值反思：4Ａ21X4利用折叠的性质：“平行线+角平分线”找线段DE所在的等腰△设元建立方程DA’F312BB解方程得X=5A解：∵由折叠得△ABD≌△A’BD ∴∠1 = ∠2∵CD∥BA，∴∠1 = ∠3∴∠2 = ∠3∴ED= EB设ED = x，则EB = x，EC= 8 –x在Rt△BAE中，BC2CE2BE2∴42(8x)2x2解得x =5

一题多变九年级数学图形的折叠知识拓展，引向深刻变式二：（选做）如图，矩形中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP 沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为__________68

拓展1：如图，梯形ABCD中，AB∥CD ，∠ABC=90°,AB=3，BC=4 , CD=5,点E 为线段CD上一动点（不与点C重合），△BCE关于BE 的轴对称图形为△BFE ,连接CF ,设CE=x1）当点F落在梯形ABCD 的中位线上时，求X的值；思考、如何解决折叠问题：引入

3、会求2、会画1、会折引出课题，

九年级数学图形的折叠解决问题解决折叠问题——2、会画准确再现题意如图，梯形ABCD中，AB∥CD ，∠ABC=90°,AB=3，BC=4 , CD=5,点E 为线段CD上一动点（不与点C重合），△BCE关于BE 的轴对称图形为△BFE ,连接CF ,设CE=x.（1）当点F落在梯形ABCD 的中位线上时，求X的值；解题分析：212、会画DFNBE1)如何确定F点？BF=BC以B为圆心，BC长为半径画弧，交MN于点F 确定F点C2)如何确定E点？∠1=∠2分FC作∠FBC的角平分线交DC于点EM确定E点确定E点A或BE垂直平作线段FC的垂直平分线交DC于点E

解决折叠问题——3、会求综合信息分解难度如图，梯形ABCD中，AB∥CD ，∠ABC=90°,AB=3，BC=4 , CD=5,点E 为线段CD上一动点（不与点C重合），△BCE关于BE 的轴对称图形为△BFE ,连接CF ,设CE=x.1)当点F 落在梯形ABCD 的中位线上时，求X的值；综合信息分解难度：1）关注位置的特殊性：中位线90°1BN=___BF, 2DExPC4BC2）由轴对称性质：BF= ___FM30°3）综合信息：∠BFN=_____, ∠EBC=___．30°x4）在Rt△ECB中，tan30°=443x3304A图130N2B

反思内化图形的折叠梳理知识，提炼方法九年级数学反思：1.折叠图形的全等性：对应边、对应角相等。BC=BF垂直平分。确定点FDFMExC2.点的对称性：对称点连线被对称轴方法1：作线段FC的垂直平分线方法2：作∠FBC的角平分线430确定点E4A图130N2B3.求X的关键：折叠前后对应线段长度不变位置改变带来特殊性

九年级数学课堂小结图形的折叠☞透过现象看本质:万变不离其宗轴折实质对叠称FA图形的变化折痕的变化DE轴对称性质：背景的变化1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角相等。2.点的对称性：对称点连线被对称轴垂直平分。问题解决的方法：转化为三角形，利用勾股定理或相似三角形建立等量关系

九年级数学课堂小结及时反思图形的折叠1）折叠过程实质上是一个轴对称变换，折痕就是对称轴，变换前后两个图形全等。2）在矩形的折叠问题中，若有求边长问题，常设未知数，利用方程思想解决问题。3）在折叠问题中，可以利用熟悉的数学模型，转化到新背景下解决问题。3-x1xA’13-xx45勾股定理3D31F2B练习相似（三垂直模型）A“平行线+角平分线”

三、课堂作业

课堂练习1、如图，把一张长方形纸片ABCD，沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，当D、C分别落在D′、C′的位置上，若∠EFG＝55°，求∠1的度数。解：∵AD∥BC∴∠3＝∠EFG＝55°AE123DBGD′FC由折叠可知：∠2＝∠3 ＝55°∴∠1＝180°－2×55°＝70°C′

2、如图，点O是矩形ABCD的中心，E是BC上的一点，将矩形沿DE折叠后，点C恰好与点O重合，若DC＝3，则折痕DE的长为。DO可得∠EDC＝30°A3BEC

3、如图，两张宽为1cm的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分ABCD是菱形。已知∠BAD＝60°，则重叠部分的面积是cm2。DACB

四：课堂小结：

五：课后作业