信息技术应用 用Excel解线性规划问题举例教案设计

《简单的线性规划问题》教学设计 （人教A版高中课标教材数学必修5第三章第3.3节）

授课教师：姜婷婷

所在单位：南皮县第一中学

线性规划问题

《简单的线性规划问题》（第一课时）教学设计

一、内容及其解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.

本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.

二、教学目标

（1）知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；理解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；

（2）过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力。

（3）情态、态度与价值观：让学生体会数学源于生活，服务于生活；体会数学活动充满着探索与创造，培养学生动手操作、勇于探索的精神。

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线性规划问题

三、教学重、难点

1、教学重点 :求线性规划问题的最优解

2、教学难点 :学生对为什么要将求目标函数的最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题以及如何想到这样转化存在疑惑，在教学中应紧扣实际，突出知识的形成发展过程。

四、学生学情分析

本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化成数学问题。从数学知识上看，问题涉及多个已知数据，多个字母变量、多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。

五、教学方法：变式教学，通过一道题或者尽量少的题目来实现教学目标

六、教学手段：采用计算机辅助教学。

七、教学设计过程

【回忆旧知】

对上节课的总结，对这节课做铺垫，检查学生对知识的掌握情况

【新课引入】

我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用．

【线性规划】

【例1】先讨论下面的问题

设

，式中变量x、y满足下列条件

①

求z的最大值和最小值．

（设计意图：让学生初步了解线性规划解题方式）

分析：把z2xy稍作变形为y2xz，作出一组平行 直线，所以z的变化体现在纵截距的变化。作一条斜率为

－2的直线，当此直线平移时，发现当直线过A点时，纵截距最大，即z值最大，过B点时截距最小，即z值最小。所以求出A,B坐标，代入目标函数：

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线性规划问题

在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件．线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示．

是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求在线性约束条件①下的最大值和最小值问题，一般来说由于

线性目标函数

线性目标函数在线性约束条件下的最值都在平面区域边界处取得。

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解

叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．

【抛出实例、激发兴趣】

【例1】

将引例中的目标函数改为z=2x-y，求z的最值。

【设计意图】

通过这道题让同学们感受目标函数z的几何意义，问题串将难点分解，同时将思维层层递进、引进概念的同时引导学生运用概念处理问题。

【变式】将引例中的目标函数改为z=x-2y，求z的最值

【总结】解线性规划问题的实质所在是数形结合，首先要能够根据约束条件画出可行域（不一定是线性的），其次要观察挖掘目标函数或与目标函数有关的式子的几何意义，然后再用几何方法来解代数问题

【探究】最优解与可行域的关系？

1、线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界处取得,在哪个顶点不仅与B有关,还与目标函数的斜率有关,其斜率与可行域边界所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚. 2、线性目标函数的最优解个数可能有一个或多个或无数个

【设计意图】

小组合作体现合作意识，教师补充对最优解有更好的认识。

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线性规划问题

课后思考

错在哪儿，对旧问题的新认识

八、教学反思

本节课的重点是如何解决线性规划问题，而用二元一次不等式表示平面区域是前一节课的重点，所以本节课所有问题都采用同一个可行域，在此前提下，不断地变换目标函数使学生会解各种各样的线性规划问题。

1、

从教学目标的落实来看，这节课还是比较成功的，上了这样一节课后，学生可以学会各种线性规划甚至非线性规划问题，从第二天收上来的作来来看，也充分的证实了这一点，学生的差错率极小；

2、

但是这节课上了之后还是受到了各位同事的批评，这节课的应试意味太浓，各个问题的提出太直接，有灌输式教学的影子，对学生数学前景的发展未必有利。

九、教学改进

1、在【变式】之前先来个设问：线性目标函数的最优解是否唯一？若是，请说明原因；若不是，请举反例。

这一提问达到一个抛砖引玉的效果，让学生觉得问题的提出不会那么突然。

2、在【变式】之前也先来个设问：线性目标函数的最大值是否一定在截距的最大值时取得？为什么？

对于这一提问，学生很容易就回归到线性规划问题的解题方式，a1zaxbyyxz，显然z的最值和截距的关系和b的符号有关，bb让学生自己得出设计意图中的结论，而不是由简单的一道题，讲解之后老师加以总结，学生记住结论，让学生知其然更要知其所以然。

参考资料：1、人教版《数学必修5》教科书

2、人教版《新课标教案数学A版必修5》

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