3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义优秀教学设计

3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教学设计

[提出问题] 已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．

问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？

提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i. 问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？

提示：满足．

问题3：以交换律说明之．

提示：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，

z2＋z1＝(c＋di)＋(a＋bi)＝(c＋a)＋(d＋b)i，

∴z1＋z2＝z2＋z1. [导入新知] 1．复数的加、减法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，

z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2．复数加法的运算律

(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；

(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

[化解疑难] 对复数加减法的理解

1．把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了．

2．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．

3．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．例如，(3－2i)＋2i＝3.

复数加、减法的几何意义

[提出问题] 如图OZ1，OZ2分别与复数a＋bi，c＋di对应．

问题1：试写出OZ1、OZ2及OZ1＋OZ2，OZ1－OZ2的坐标．

提示：OZ1＝(a，b)，OZ2＝(c，d)，

OZ1＋OZ2＝(a＋c，b＋d)，OZ1－OZ2＝(a－c，b－d)．

问题2：向量OZ1＋OZ2，OZ1－OZ2对应的复数分别是什么？

提示：向量OZ1＋OZ2对应的复数是a＋c＋(b＋d)i，也就是z1＋z2，向量OZ1－OZ2对应的复数是a－c＋(b－d)i，也就是z1－z2. [导入新知] 复数加、减法的几何意义

如图：设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为OZ1，OZ2，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是OZ

，与z1－z2对应的向量是Z2Z1 .

[化解疑难] 对复数加减运算几何意义的认识

复数加减运算的几何意义就是向量加减运算的平行四边形法则或三角形法则，由复数加减法的几何意义可得如下结论：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.

复数的加、减运算

[例1] 计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)；

(2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；

(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．

[解] (1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i. (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)＝(－1＋1)＋(2＋2)i＝22i. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i. [类题通法] 复数的加、减运算的技巧

复数的加减运算，只需把“i”看作一个字母，完全可以按照合并同类项的方法进行．

[活学活用] 计算下列各题．

(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；

(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 011－2 012i)．

解：(1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i＝－5＋20i. (2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 009－2 010＋2 011)＋(－2＋3－4＋5－…－2 010＋2 011－2 012)i＝1 006－1 007i.

复数加、减运算的几何意义

[例2] 已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC、BD的长．

[解] 如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，所以有zM＝＝zA＋zC2zB＋zD2，所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i，因为AC：zC－zA＝2－(－5－2i)22＝7＋2i，所以|AC|＝|7＋2i|＝7＋2＝53，因为BD：zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i，所以|BD|＝|5－12i|＝5＋12＝13. 故点D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是53和13. [类题通法]

运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题

向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量AB对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．

[活学活用] 复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点，如图所示，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．

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解：复数z1，z2，z3所对应的点分别为A，B，C，设正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．

因为AD＝OD－OA，所以AD对应的复数为(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，因为BC＝OC－OB，所以BC对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.因为AD＝

x－1＝1，BC，所以它们对应的复数相等，即y－2＝－3，

x＝2，解得y＝－1.

故点D对应的复数为2－i.

综合应用

[例3] 设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|. [解] 法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由题设知a＋b＝1，c＋d＝1，(a＋c)＋(b＋d)＝2，

又(a＋c)＋(b＋d)＝a＋2ac＋c＋b＋2bd＋d，

∴2ac＋2bd＝0. ∵|z1－z2|＝(a－c)＋(b－d)

＝a＋c＋b＋d－(2ac＋2bd)＝2，

∴|z1－z2|＝2. 法二：作出z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，使OZ1＋OZ2＝OZ，

∵|z1|＝|z2|＝1，又OZ1，OZ2不共线(若OZ1，OZ2共线，则|z1＋z2|＝2或0与题设矛盾)，

∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形．

又|z1＋z2|＝2，

∴∠Z1OZ2＝90°，即四边形OZ1ZZ2为正方形，

故|z1－z2|＝2. [类题通法] 与复数模有关的几个常见结论

在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，Z1＋Z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形2222222222222222222OACB：

(1)为平行四边形；

(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；

(3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；

(4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．

[活学活用] 已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|. 解：法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，

∴a＋b＝c＋d＝1，

①

(a－c)＋(b－d)＝1. ②

222222

由①②得2ac＋2bd＝1. ∴|z1＋z2|＝222a＋c22＋b＋d2

＝a＋c＋b＋d＋2ac＋2bd＝3. 法二：设O为坐标原点，

z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C. ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，

∴△OAB是边长为1的正三角形，

∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，

∴|z1＋z2|＝|OC| ＝|OA|＋|AC|－2|OA||AC|cos 120°＝3.

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