阅读与思考 海伦和秦九韶第二课时教学设计

《海伦公式》教学设计

【课题名称】

人教A版必修五第一章阅读与思考《海伦与秦九韶》

【教材分析】

本节课的授课内容选自人教A版普通高中课程标准实验教科书必修五第一章阅读与思考部分《海伦与秦九韶》，是《普通高中数学课程标准》（实验）中并没有做要求的内容。本节课的内容在教材中只用了一页的篇幅，叙述了海伦公式和秦九韶公式的记载历史，并没有给出证明过程和应用实例。本节课的内容是对前面所学习的解三角形以及三角形面积公式的延续与拓展。海伦公式和秦九韶公式是利用已知三角形三边来解三角形面积问题的公式，提供了新的求解三角形面积的方法。同时本节课的内容也是后续更加深入研究三角形面积相关知识的基础。

本节课设置对象为数学学习程度较好的学生，为在完成《普通高中数学课程标准》所要求的学习内容之后仍有空余课时的情况下进行教学，意在引领学生运用所学知识对海伦公式进行证明，让学生在证明过程中提升学生的推理运算能力、发现数学之美

【学情分析】

1.认知基础

进入高中阶段以后，学生的抽象逻辑思维属于理论型，已能在头脑中进行完全属于抽象符号的推导，能以理论作指导去分析解决各种问题，并且各种推理能力都得到较好发展。在经过前面的与三角形有关的知识的学习之后，学生的抽象思维已经有了一定程度的提升。但是，尽管学生对于角、三角函数有了一定的形象认识，但是对于三角形中的难度较大的推理和证明的抽象工作还存在一定的障碍和困难。

2.知识基础

在初中，学生已经学***方差公式、完全平方公式、三角形的面积公式，在必修五第一章又学习过正弦定理和余弦定理，通过对这些公式的回顾，学生将在探索三角形中新的可以描述三角形面积的方法做出思考，可以帮助学生进一步提高推理能力和运算能力。

3.情感基础

学生在学习过代数运算、任意角的三角函数、正弦定理、余弦定理之后，已经形成了一定的运用联系转化的观点处理问题的自觉性。在学习和应用这些知识的过程中学生已经逐步发现了数学公式之美和数学的简便性，探索新的三角形面积求解公式是对已经学习过的三角第1页

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形以及三角函数相关知识的拓展和延伸，可以激发学生的探索精神。

【教学目标】

1.知识与技能

①理解海伦公式和秦九韶公式的本质

②了解海伦公式和秦九韶公式的证明过程

③会利用海伦公式和秦九韶公式解决简单的涉及三角形三边与面积关系的问题

2.过程与方法

①在证明海伦公式和秦九韶公式过程中，形成严谨的数学逻辑思维

②在应用海伦公式和秦九韶公式解决三角形三边及面积关系过程中，提高了推理运算能力

3.情感态度价值观

①进一步提高运用联系转化的观点处理问题的自觉性

②体会数学公式的简洁美

【教学重难点】

1.教学重点

海伦公式和秦九韶公式的证明过程

2.教学难点

海伦公式和秦九韶公式的本质

【关键】

一般的三角形面积公式与海伦公式和秦九韶公式的转换

【教学方法与手段】

1.教学方法

引导探究式教学法

2.教学手段

PPT、几何画板、板书

【教学设计思想】

从教学论的观点看：“教育的本质是使学生得到全面地发展”。教育的对象是学生，而每个学生都是有个性的，有潜能的，因此教学活动应体现“以学生为本”的理念，促进学生的全面发展。而传统讲授式数学教学中教师是课堂的主宰，教师领着学生去学。长此以往，学生习惯了被动地去学习，成为思维上懒惰者。显然，这种以教师“讲”为中心的数学教学，第2页

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没有充分发挥学生学习的主观性和能动性，是不利学生的潜能开发和身心发展的。

海伦公式和秦九韶公式虽然是《解三角形》这一章的阅读与思考部分的内容但也是三角形中较为重要的两个公式，这两个公式揭示了三角形中三边与三角形面积之间的关系。而建构主义认为，学生不是被动的学习者，而是主动地根据先前的经验和已知的知识进行主动的建构，知识不能被灌输、强加。学生应在体验、领悟和创造中学习。通过有目的的观察、动手实验由内到外主动建构。因此，我们选择让学生进行动手探究、合作交流，通过“实验—观察—猜想—证明”的途径，既增强学生的动手、分析与联想能力，同时也可使得学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性，并且也利用了三角函数和代数运算可以对学生进行数学之美的教育。

【教学过程】

由于本节课的教学重点是海伦公式和秦九韶公式的推导和证明过程，证明过程占据较大的篇幅，提高学生的推理、运算能力是课程的要求，同时本节课的教学对象为数学学习成绩较好的学生，所以本节课采用引导探究式教学法。本节课的设计思路为：引导学生回顾已经学习过的三角形面积的计算公式、正弦定理和余弦定理等知识，通过实验—观察—猜想—证明的探究发现过程得到海伦公式和秦九韶公式，通过推导公式的过程，简单了解公式的简单应用，因此本节课设计为以下四个环节：

一、情景引入

由于本节课的内容是海伦公式和秦九韶公式，这两个公式都有着很深远的历史，因此以课本上《数书九章》中的与秦九韶公式有关的题目作为背景来引入本节课的内容。

将《数书九章》中的题目抽象为已知三角形三边长求解三角形面积的问题，虽然学生可以利用学过的知识间接得到三角形的面积，但是通过计算过程使学生意识到原来学习过的知识已经无法满足实际简单化的需求，激发学生探索新知的欲望。

二、探索新知

向学生提出，秦九韶公式可以解决三角形的面积公式，让学生利用该公式解决三角形面积问题。学生得到正确答案即证明了公式的正确性，然后引导学生证明秦九韶公式，学生描述三角形的面积，一般只能利用

底*高或者

两边*夹角的正弦值，因此可以从回忆曾经学习过的三角形的面积公式入手，通过一系列问题提问引导学生，得以证明三角形中的秦九韶公式。

因为本节课的另一个知识点是海伦公式，在证明得到了秦九韶公式之后，向学生提问还

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有没有更加简洁方便的公式求解三角型面积，进而向学生提出西方的海伦公式，并向学生提问这两个公式是不是相同的，引导学生由秦九韶公式推导得到海伦公式，使证明过程完整。在公式证明之后，向学生揭示公式的实质，以及秦九韶公式和海伦公式是本质相同形式不同的两个公式，使学生初步了解到海伦公式和秦九韶公式的简单应用。

在公式证明和推导部分，选择“代数法”作为秦九韶公式和海伦公式的证明方法，是因为：学生通过前面的学习已经基本掌握三角函数相关应用以及三角形的面积的描述方法，通过知识的学习，学生对代数运算较为熟练。所以对于公式的证明，“代数法”是在学生认知水平上较为容易尝试成功的方法，符合学生认知水平的发展。但是，为了让学生更好体会到数学定理证明的逻辑性所在，和数学的严谨性，设计采用教师根据学生代表回答并作板书演示证明过程，以发现学生的不足和不严谨等问题。并在书写展示证明过程的同时，向学生强调证明的思路和联系与转化的数学思想思想。

三、应用新知

由于本节课是《海伦公式》为课本中的阅读与思考部分的内容，课后没有习题留给学生，并且本节课的重点是海伦公式、秦九韶公式的推导证明过程，因此对于公式的应用有着较高要求，要求学生打好基础，熟练掌握公式的相关应用

四、课堂小结和作业布置

课堂小结主要针对海伦公式和秦九韶公式的推导证明过程加以回顾，理清思路，渗透思想，向学生揭示数学的公式之美，最后布置作业，必做作业为求内切圆半径为1的三角形面积的最小值，选作习题为探索海伦公式的其他证明方法

教学环节

教学内容

提出《数书九章》中的问题“问有沙田一一、背景引入

段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十把实际问题抽象化，让学回忆旧知，思生感受到以前所学的相考三角形中关知识无法满足我们的能描述面积（5min）

四里，大斜一十五里，需求，引导学生进行新的的相关公式

里法三百步，欲知为田几何”

二、探究新回顾已经学习过的可引导学生从复习学习过根据老师的学生在计算思考

趣 生的学习兴题，激发学入手引入课以古代问题教师活动

学生活动

设计意图

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知

以描述三角形中的面的三角形的面积入手探究三角形面积求法

引导回忆三角形的面积公式，利用已有公式得到三角形的面积

过程中感受到了计算的复杂性，让学生发现所学旧知不能满足简便化的需求，激发学生探索欲望

（20min）

积公式

提出秦九韶公式，利提出上面三角形面积求用秦九韶公式求解三解的解决方案

角形面积

形成新的三角形面积公式的

根据老师的向学生渗透数学史的相关知识

通过严谨的引导和提示，证明过程，利用已有的让学生感受引导学生由三角形的面积公式入手，根据相关三证明秦九韶公式

角函数的知识，运用代数函数知识，通明的过程中的方法证明秦九韶公式

过代数运算提高学生的推理、化简即推理运算能可得到秦九力

韶公式

形成海伦公式这个新的简单介绍海伦公式这个提出海伦公式，利用新的根据三边求解三角海伦公式求面积

形面积的公式

了解希腊数学的历史

由秦九韶公式推导得引导学生由秦九韶公式根据老师的通过推导的公式的认识，学史知识

三角形面积维，渗透数开拓学生思三角形面积到数学的严公式和三角谨性，在证第5页

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到海伦公式

入手，运用代数方法推导得到海伦公式

引导和提示，过程，让学理由平方差公式等代数知识，探究得到海伦公式

生感受到了数学的严谨性，提高学生的推理能力

1.让学生经历运用海伦公式解决数提出课堂习题：三边长a,b,c 的三角形，引导学生自主思考问题，根据老师的三、应用新满足c>a>b.2a=b+c,知

且它的周长是12，面（8min）

积是6，试判断这个三角形的形状. 解答过程

思路

据学生的回答，板书例题考，表达解题获得问题解决的思路，根引导，独立思学问题的过

程

2.培养学生利用海伦公式解决三角形三边与面积之间关系

问题的意识。

1.使学生再回顾海伦公式和秦九四、课堂小韶公式推导和证明的结

过程以及公式的相关（5min）

应用

忆

1.使学生更1. 求内切圆半径为1的五、作业布置

（2min）

布置作业

三角形面积的最小值

（1为必做作业，

2. 探索海伦公式的其他2为选做作业）

证明方法

问题；

2.鼓励学有

决边与面积海伦公式解好学会运用帮助学生回顾课堂内容

内容

解，强化记ppt展示课堂小结内容，路，回忆课堂内容深化理跟随老师思次回顾课堂第6页

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余力学生探究证明海伦公式的其他方法。

【板书设计】

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