小结课堂实录【2】

《普通高中数学课程标准实验教科书（人教A版）》必修5 3.4基本不等式（第一课时）

一、教学目标

《课程标准》对本节课的要求是探索并了解基本不等式的证明过程。针对《课程标准》的要求，结合对教材的分析和对学生的实际情况，我对本节课制定如下教学目标. 知识与技能

1.创设几何背景，引导学生用数形结合的思想理解基本不等式；

2.引导学生从不同角度探索基本不等式的证明过程；

3.会对基本不等式进行简单的应用. 过程与方法

1.采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学,体会逻辑推理与直观想象的核心素养；

2.教师提供素材、提出问题问题，并及时点拨，发挥老师的主导作用，学生发现问题、分析问题、解决问题，体现学生的主体地位；

3.将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣. 情感态度价值观

通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维品质.

二、教学重点和难点

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式ababa,b0的证明过程. 2难点：基本不等式的内涵及几何意义的挖掘于应用. 三、教学过程

1.创设情境，导入新课

探究：右图是在北京召开的第24届国际数学家

大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图

设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中

国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系

或不等关系吗？

（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）

2.问题探究，推进新课

【重要不等式】

思考(1)同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？

(2)此图案中隐含什么样的几何图形呢？哪位同学能在黑板上画

出这个几何图形？

(3)设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？当四个直角三角形的直角顶点重合时呢？

一般的，对于任意实数a,b，我们有

a2b22ab，

当且仅当ab时，等号成立. (4)同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性？

证明：

因为a2+b2-2ab=(a-b)2，

又因为(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab.

当ab时，a2b22a22b22ab；

当a2b22ab时，移项得: a2b2-2ab0，

所以，(ab)20，即：ab. 即证，当且仅当ab时，等号成立. 我们把这个式子叫重要不等式，把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小的实质一样，知识设问的形式不同而已. 【基本不等式】

探究 先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形b

（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为a和b（ab），

考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一

个不等式吗？何时取得等号？

通过学生动手操作，探索发现：abab时等号成立. a

ab(a0,b0)，当且仅当2思考(1)当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替重要不等式中的a、b而得到上述结果？

ab(a0,b0)，当且仅当ab时等号成立。

2ab这就是我们这节课要认识的基本不等式.我们常把叫做正数2aba、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

(2)请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？

教师利用投影片展示推导过程的填空形式

要证：abab，2

[来源:学科网ZXXK]

只要证a+b≥2ab，要证②，只要证：abab2≥0，要证③，只要证：(ab)20,

显然④是成立的，当且仅当a=b时，④中的等号成立，这样就得到了基本不等式.

基本不等式成立的条件：一正，二定，三相等. 基本不等式的几何解释

用投影仪给出下列问题. 探究：如图，AB是圆的直径，点C是AB上

一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD′，

连结AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式

的几何解释吗？

（预设师生活动）

师：

同学们能找出图中与a、b有关的线段吗？你能找出ab和所对应的线段吗？（教师进行几何画板的动态演示）. 生：

可证△ACD ∽△BCD,所以可得CDab.半径CB师：

这两位同学回答得都很好，那ab与义呢？

生：ab表示半弦长，ab表示半径长. 2ab2ab. 2ab分别又有什么几何意2师：

半径和半弦又有什么关系呢？

生：

由半径大于半弦可得abab. 2师：

这位同学回答得是否很严密？

生：

当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时可取等号，所以也可得出基本不等式abab

(a＞0,b＞0).

2

教师在引导学生从几何图形上认识基本不等式之后，对于基本不等式的形式及作用要进行时说明. 形式：abab(a0,b0)，当且仅当ab时等号成立.

2作用：可利用基本不等式求解最大最下值问题. 如果两个正数的和是定值，则它们的积有最大值.

如果两个正数的积是定值，则它们的和有最小值. 【基本不等式的应用】

例1 (1)用篱笆为一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？

(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

教师分析：

对于(1)，矩形菜园的面积是确定的，长和宽没有确定。如果长和宽确定了，篱笆的长也就确定了，因此我们要解决的是：当面积确定时，长和宽取什么值时篱笆的长最短？

对于(2)，矩形菜园的周长是确定的，长和宽没有确定.如果长和宽确定了，矩形菜园的面积也就确定了，因此我们要解决的是：当周长确定时，长和宽取什么值时篱笆围成的面积最大？

这个环节教师在引导学生的过程中要再三强调基本不等式的使用条件. 3.牛刀小试

教材P100练习1、2

这个环节采用4人小组合作学习，讨论6分钟后，将各组的解答过程按分组的顺序进行投影展示，组间轮流互评.最后，对于大部分学生出现的问题，教师指导点拨. 4.课堂小结

教师引导学生总结本节课知识要点的同时，用彩色粉笔在黑板上画出这节课内容的思维导图框架.

5.布置作业

教材P100A组第1题，第2题. 6.板书设计

3.4基本不等式:abab

2一、重要不等式

例1：

二、基本不等式