3.1.2 复数的几何意义教学设计和教学实录

§3.1.2复数的几何意义（教学设计）

巴州第三中学

梁伟涛

一、教学内容解析

复数的几何意义是学生在学完复数的概念之后的一节课，它是进一步学习复数的加法、减法几何意义的基础，在复数内容中起着承上启下的关键作用，它是我们研究复数运算的重要基础，故学好本节内容至关重要。

然而，在之前学生已经学过实数的几何意义，实数的绝对值的意义，所以通过类比学生很容易理解复数的几何意义。

二、教学目标设置

1.知识与技能目标

理解复数的几何意义；根据复数的几何意义，在复平面内能描出复数的点；会运用复数的几何意义判断复数所在的象限及求复数的模. 2.过程与方法目标

通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义，类比向量求模来学习求复数的模，培养学生的逻辑思维能力. 3.情感与态度价值观目标

通过复数的几何意义的学习，培养学生数形结合的数学思想，从而激发学生学习数学的兴趣. 三、学情分析

学生已经学过实数的几何意义，实数的绝对值的意义，所以通过类比学生很容易理解复数的几何意义。另外，学生在必修4中对向量的坐标化（即平面向量基本定理的应用）给予了充分的说明，通过回忆有序数对与向量之间的一一对应关系，进而实现复数与向量的一一对应关系。

学法指导：

通过类比实数可用数轴上的点来表示，认识复数用点和向量表示的合理性，体会数形结合思想在理解复数中的作用．复数的几何意义是进一步学习复数的加法、减法几何意义的基础，所以理解并掌握复数的几何意义具有承上启下的重要作用．

四、教学策略分析

教法：1.本节主要让学生类比实数的几何意义和实数的绝对值的几何意义，

探究出复数的几何意义；类比求向量的模公式探究出求复数模的公式. 2.通过复***面内的有序实数对的一一对应关系，理解复数与平面向量的对应关系。

学法：建议学生通过类比的思想和有关向量的代数运算，大胆探索复数的几何意义、复数的模的定义及公式. 五、教具准备

三角板、多媒体等

六、教学过程

1.

以史设疑, 引入课题

师: 1545 年出现了负数开方问题. 到了 1637 年, 笛卡尔也认为负数开方是不可思议的, 称这样的数为

虚数( 虚数一词沿用至今) 。

1799 年高斯给出了复数的几何解释, 并有了广泛应用, 人们接受了复数. 你猜猜看, 高斯是怎样给出复数的几何解释的?

2. 类比联想, 探索复数的几何意义

师:

好象猜不出来, 是吧? 那怎么办啊? 其实我们人类研究新问题, 研究未知问题的一个最基本方法, 就是由已知研究未知, 也就是利用已知的东西研究未知东西. 我们已经知道, 复数是由实数扩充得来的,那么, 大家想高斯会怎么研究呢? 要研究复数的几何意义, 利用什么已知来研究呢? 既然复数由实数扩充得来, 那能不能类比实数的几何意义来研究呢? 师: 实数有什么几何意义呢? 生: 实数可以用数轴上的点来表示. 师: 为什么实数可以用数轴上的点来表示呢? 实数与数轴上的点是什么一种关系呢? 生: 一一对应

师: 对, 实数与数轴上的点一一对应. 这个

一一对应重要啊! 正是由于一一对应, 我们才可以把每一个实数, 用数轴上的点( 几何意义) 来表示. 数轴上的点就是实数的几何模型, 也就是实数的几何意义之一. 这样所有实数都在数轴上了, 那么, 实数集的几何模型是什么? 生: 数轴. 师: 实数还有其他几何意义吗? 生: 在解析几何初步和单位圆三角函数线中, 讲过有向线段OA 的数量OA 是实数, 这算不算是实数的几何意义呢?

师: 可以. 如果给你一个实数

a, 那实数

a 的绝对值| a|是不是也有几何意义? 是什么? 生: 表示实数

a 在数轴上的对应的点

A 到原点O 的距离. 师: 刚才回顾了与实数有关的几何意义,

有关实数的几何意有关复数的几何意义

义

实数可以用数轴上的

点来表示

1

实数集的几何模型: 数轴

1

实数

a 可以用有向

线段OA

的数量

OA 表示

2

2

实数

a 绝对值的几何意义: 实数

a 在数轴上所对应的点

A 到原点

O 的距离

那么, 你能否想象一下怎么来刻画复数的几何意义? 能不能用类比的方法从几何的角度来解释复数? 请同学们先独立思考, 然后小组讨论, 大家分享研究成果, 并解释研究成果的合理性. 师: 对复数的几何意义, 你们各小组得到什么结论? 为什么? 生: 复数的几何意义是平面直角坐标系中的

点

Z( a, b) . 因为每个复数

z = a+ bi( a, b∈R) 都可以看作是一个

有序实数对( a, b) , 实数对( a, b) 与直角坐标系中的点

Z( a, b) 是一一对应的. 这样, 复数

z = a+ bi ( a, b∈

R) 就与平面直角坐标系中点

Z( a, b) 一一对应. 所以, 复数

z = a+ bi ( a, b ∈ R) 就可以用平面直角坐标系中的点

Z( a, b) 来表示. 师( 板书图示) : 很好, 在平面直角坐标系

x Oy 中, 以复数

z = a+ bi( a, b∈

R) 的实部为横坐标, 虚部为纵坐标, 就确定了点

Z( a, b) , 我们可以

用

点

Z( a, b) 来表示复数

z = a+ bi , 这就是复数的几何意义, 也就是复数的几何模型.

师: 类比实数集的几何模型是数轴, 你们有什么发现? 生: 复数集的几何模型是平面直角坐标系所在的平面. 师: 我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复数平面, 简称复平面( 也称高斯平面) . 那么

x 轴上的点和y 轴上的点

所表示的复数分别有什么特点? 生: x 轴上的点表示的是实数, y 轴上的点表示的是纯虚数. 师: 他说的有没有缺陷? 生: 有缺陷. 应该是: y 轴上的点除原点外, 表示的都是纯虚数. 师: 哦, 实数对应的点都在

x 轴上, 我们给

x 轴起个名字称为实轴. 那么虚轴呢? 生: y 轴称为虚轴.

师: 下面通过一组练习来加深我们对自己研究成果的理解. ①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；

②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；

③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；

④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；

⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限．

判断下列命题的真假：

师: 还有什么发现? 大家想想看, 我们还用有序实数对( a, b) 表示过什么? 生: 平面向量

师: 表示哪个向量呢? 生: OZ

师: 那为什么复数

z 能够用向量OZ 表示呢? 生: ( 学生回答, 教师板书, 用图表示更清晰)

师: 复数

z = a+ bi 与平面向量OZ

一一对应,所以就可以用向量表示复数

z =

a+ bi . 由这样的一种关系出发呢, 于是我们对复数又产生了一个新的认识. 什么新的认识呢? ) ) ) 复数可以看作是向量, 复数可以用向量表示. 当然, 我们还应该注意, 复数( 0, 0) 就与零向量对应. 我们得到了复数的又一种几何意义) ) ) 复数的向量意义. 师: 如何理解

复数

z = a+ bi ( a, b∈

R) 、复平面上的点

Z( a, b) 与平面向量OZ之间的关系? 生: ( 1) 三者有联系, 三者一一对应, 是通过有序实数对在三者之间建立起一一对应关系.

因此三者都表示复数

z , 为了方便起见, 把复数

z = a+ bi(a, b∈

R) 说成点

Z 或向量OZ. 三者的联系可以用右图表示:

( 2) 三者有区别)，

主要是表达形式不同. z = a+ bi 从数的角度刻画复数. 点

Z( a, b) 从形的角度刻画复数. 向量OZ 也是从形的角度刻画复数.

z = a+ bi( a, b I R) 称为复数的代数形式. 点

Z( a, b) 称为复数的几何形式. 向量OZ称为复数的向量形式.

师: 还有什么发现? 如果把绝对值概念推广到复数中来, 复数绝对值的几何意义是什么? 生: 应该是复数的对应点

Z( a, b) 到坐标原点

O 的距离。

师: 那么, 这个距离怎么表示? 刚才不是发现复数可以用向量表示吗? 你有什么启发? 生: 既然复数可以用向量OZ表示, 那么就能得到

| z | = | OZ|= a+ b.

师: 复数绝对值与实数绝对值的几何意义一样, 是复平面内点

Z( a, b) 到原点

O 的距离, 也就是向量OZ的模, 即

| z | = | OZ | = | OZ| . 我们把向量OZ的模称为复数的模或复数的绝对值.

2 2 下面再次通过练习来加深我们对自己研究成果的理解.

已知z1＝3-4i，z2＝－5+2i，z1，z2对应的点分别为P1，P2，则P1P2

对应的复数为 , | P1P2

| =

3.总结反思, 质疑提问

用了哪些数学思想方法? 师: 这节课你有哪些收获? 与复数有关的几何意义有哪些? 本节课运生: 与复数有关的几何意义共三个: 复数可看作平面上的点, 可以看作平面向量; | z | 的几何意义, . 生: 本节课运用了类比联想方法;

转化思想，一一对应的思想;

数形结合思想等数学思想方法. 师: 1. 本节课由实数出发, 联想类比得到复数可用复平面上的点来表示, 进而得到复数的向量形式, 这是由一维向二维转化发展的联想, 同时实现了从数到形的转化。

4.作业布置 作业1 P54第1、2 （2）（4）（6）

作业2（链接高考）在复平面内，复数zsin2icos2对应的点位于（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C第三象限 D第四象限

5.板书设计

§3.1.2复数的几何意义

1.复平面的概念

2.复数的几何意义

①复数zabi一一对应4.例题讲解

例1.判断下列命题的真假：①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；

③在复平面内，实轴上的点所对引入

练习

作业布置

复平面内的点Z(a,b)

应的复数都是实数；

②复数zabi平面向量OZ；

3.复数的模

一一对应④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；

⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限．

复数zabi(a,bR)的模：

例1已知z1＝3-4i，z2＝－|z||OZ|a2b2

5+2i，z1，z2对应的点分别为

P1，P2，则P1P2

对应的复数为 , | P1P2

| =

6.教学反思