2.3.1 圆的标准方程教学设计思路

圆的标准方程

北京市延庆区第一中学

徐晓凤

1

教学背景分析

1.1

教学内容分析

圆的标准方程是继“直线的方程”之后,“圆锥曲线”之前的解析几何内容,起着承上启下的作用，解析几何是通过坐标法，运用代数工具研究几何问题的一门学科，它把数学的两个基本对象——形与数有机地联系起来。“圆的标准方程”是研究二次曲线的开始，是培养学生数学思维能力，发展学生数学核心素养的重要载体。

本节课打破常规设计思路，而是以探究解决实际问题为例，通过引领学生经历解决问题的过程，获得数学建模、直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养。引导学生根据两点的距离公式及圆的定义导出圆的标准方程，明确求圆的标准方程，关键是确定圆的圆心和半径长，渗透待定系数法与数形结合法解决相关问题的思路。

1.2 学情分析

学生对直线与方程的关系有了初步认识，对坐标法研究几何问题有了基本的了解，初步具备了数式与图形位置关系结合的意识。可通过类比尝试解决“圆”这种曲线与方程的问题，但学生从方程识别曲线形状的能力相对欠缺，课前需要对两点的距离公式有很好的掌握。另外，从圆的几何性质出发研究圆的圆心位置，求半径长度也是学生思维能力比较薄弱的地方。

2

目标与方法设计

《普通高中数学课程标准（实验）》指出要“了解数学知识的背景，准确把握数学知识的逻辑意义，深刻领悟数学知识反映的思想方法，把握知识之间的多元联系，挖掘其蕴含的科学方法、理性和价值观资源”，是精确设置教学目标和方法的保障。

2.1

教学目标设计

（1）会用坐标法研究动点坐标满足的方程,能根据方程结构理解并掌握圆的标准方程;

（2）会根据不同条件求圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练地求出它的圆心和半径;

（3）运用圆的标准方程解决简单的实际问题,初步了解数学建模流程. 2.2 教学重点与难点

重点:坐标法研究动点坐标满足关系式的过程以及根据条件正确写出圆的标准方程. 难点:运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题. 2.3教学方法设计

通过创设问题情境为学生思维发展搭建阶梯，为求圆的标准方程做好准备，同时培养学

生用数学的眼光审视现实生活问题的意识。以问题串为载体，以启发、探究活动为引领。教师的“引”与学生的“探”有机地结合起来，使学生主动参与到圆的标准方程的发现与应用活动中来。

3

教学过程设计

教学环节

探

究

问

题

教师活动

[探究问题作业]

有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回学生活动

[生生答疑]预设学生能想到建立坐标系求解，现以一种可能方式为例如下：

生甲：想通过线段AB的中点设计意图

创设情境，让学生体会数学来源于生活，虽然容易列出式子，但却不好

释

疑

解

惑

引

入

圆

的

标

准

方

程

方

程

深

化

小

试

牛

刀

阶

段

归

纳

的费用是：A地每公里的费用是B地每公里运费的3倍，已知A，B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用

较低，求P地居民选择A地

或

B地购货总费相等时，点

P所在

曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？

提问：

⑴请谈谈本题的大意，和你解决该问题时遇到了什么瓶颈？

⑵请回忆你新近学过的公式，其中具备二次的结构特征，又有几何含义的是哪个公式呢？

⑶请尝试配方，写出方程的等价形式，通过这种形式你能猜出P所在曲线的形状了吗？

⑷我们把

这样的方程称为圆的标准方程，那么你能写出以（a,b）为圆心，r为半径的圆的标准方程吗？

为原点建立直角坐标系，依题意可列式

2222

3ax5yax5y

（a为P到B每公里的运费）

但不会化简。

生乙：可两边同时平方整理

xy2225x250

2知道这是P的坐标满足的关系式但却观察不出这是什么形状的曲线。

得到结论，遇到了瓶颈，突破的过程恰是学生在原有知识基础上的再次“生发”的过程，从而达到知识的再创造。

生答：两点间距离公式。

结合圆的定义和2生丙：

252152两点间距离公式xy配方

探索动点的横坐44标x与纵坐标y之1525是以,0为圆心，间的关系规律。

44

为半径的圆。若P在圆上则由实例感知点与到A,B购物总费用相等；若P圆位置关系变化在圆内则到A地最合算；若P时，

式的变化。

在圆外时则到B合算。

学生代表黑板写出方程。

学生尝试设计。

启发学生观察、认识圆的标准方程。

(xa)2(yb)2r2

提问：你能设计一些相应的考查问题吗？

练习A

1，2，3 学生口答，并阐述解题思路。

及时巩固所学知

识，熟悉圆的标准规范解题思路，引出解决方法。

方程及其特点，同⑴待定系数法；

时提炼解题方法。

⑵数形结合思想方法。

显性能力：

根据条件能写出圆的标准方程；由圆的标准方程可以知道圆心和半径；能判断点与圆的位置关系。

隐性能力：

会研究动点的坐标满足的关系式。不妨回忆一下探究问题中研究P所在曲线形状的过程。

学生根据黑板解决探究问题的思路进行归纳概括。

培养学生的归纳概括能力。并通过回忆探究问题中研究P所在曲线形状的过程获得这一类问题的解决步骤，达到“以点带面”的效果，同时也积累了数学模型解题的经验。

反

馈

演

练

问题如下：

求经过点P（1，1）和坐标原点，并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的方程。

问题如下：

如图

是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m) 学生独立思考，分析题意，草拟解决方案。

小组汇总交流商定最佳解决办法，以及处理疑难点。

学生口述

思路一

思路二

…

动笔落实写出求解过程，投影展示，互相借鉴。

学生读题,构建解决问题的思路框架.

使学生明确：求圆的方程，必须具备三个独立的条件，确定a,b,r,可以根据条件，利用待定系数法来解决。在解决过程中，利用初中所学的圆的几何性质，分析圆心所在的大致位置，减少了变元的个数。

反馈本节学习要点,强化学生的数形结合意识,并且与本节引例互相呼应,达到目标检测的作用.

可见圆具有很强的几何特征（对称性）相信大家看到下面这个问题，思路应该不只一种吧？

小结

⑴知识

⑵方法

师生共同整理完善。

牛刀小试(练习)

作业

⑴练习B1，2 ⑵撰写反思：本节课带来的启示

板书设计

课

题

22(

x

1.

圆的标准方程

a

)



(

y



b

)



r2圆心_______,表示圆的位置;半径_________表示圆的大小;

例题(一题多解

2.

点与圆的位置关系判断

3.

求圆的标准方程的方法

(1)

待定系数法; (2)

数形结合思想方法.