正弦、余弦、正切函数的简单应用板书设计

28.2.2

用解直角三角形解方位角、坡角的应用

学案

一、新课导入

1.课题导入

情景：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？

问题：怎样由方向角确定三角形的内角？

2.学习目标

（1）能根据方向角画出相应的图形，会用解直角三角形的知识解决方位问题. （2）知道坡度与坡角的含义，能利用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题. 3.学习重、难点

重点：会用解直角三角形的知识解决方向角、坡度的相关问题. 难点：将实际问题转化为数学问题（即数学建模）.

二、分层学习

第一层次学习

1.自学指导

（1）自学内容：教材P76例5. （2）自学时间：10分钟. （3）自学方法：独立探索解题思路，然后同桌之间讨论，写出规范的解题过程. （4）自学参考提纲：

①如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？(结果取整数，参考数据：cos25°≈0.91，sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）

a.根据已知在图中标出方向角：如图所示.

b.根据方向角得到三角形的内角：在△PAB中，∵海轮沿正南方向航行，∴∠A= 65°

，∠B= 34°

，PA= 80

c.作高构造直角三角形：如图所示. d.写出解答过程：

在Rt△APC中，PC=PA·cos(90°-65°)=80×cos25°≈72.505（n mile）. 在Rt△BPC中，∠B=34°,PB=PC72.505≈130（n mile）. sinBsin34②如图，海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°的方向上，又继续航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°的方向上，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？

解：过A作AE⊥BD于E.由题意知：∠ABE=30°,∠ADE=60°.

∴∠BAD=60°-30°=30°=∠ABD.∴AD=BD=12. ∴AE=AD·sin60°=12×∴无触礁的危险. 2.自学：

结合自学指导进行自学.

3.助学

（1）师助生：

①明了学情：观察学生自学提纲的答题情况. ②差异指导：根据学情对学习有困难的学生进行个别或分类指导. （2）生助生：小组内互相交流、研讨. 4.强化：利用解直角三角形的知识解方向角问题的一般思路.

第一层次学习

1.自学指导

（1）自学内容：教材P77. （2）自学时间：5分钟. （3）自学方法：先独立归纳利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路，然后对照课本P77的内容归纳，进行反思总结. （4）自学参考提纲：

①利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路：

a.将实际问题抽象为数学问题；b.根据问题中的条件，适当选用锐角三角函3=63

(海里)＞8海里. 2

数等解直角三角形；

c.得到数学问题的答案；d.得到实际问题的答案. ②练习：如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=1∶1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度i=1∶3是指DE与CE的比，根据图中数据，求：

a.坡角α和β的度数；

b.斜坡AB的长(结果保留小数点后一位).

2.自学：

学生可参考自学指导进行自学. 3.助学

（1）师助生：

①明了学情：明了学生解答问题的情况. ②差异指导：根据学情进行相应指导. （2）生助生：小组内互相交流、研讨. 4.强化

（1）坡度、坡角的含义及其关系，梯形问题的解题方法. （2）在自学参考提纲第②题中，若补充条件“坝顶宽AD=4 m”，你能求出坝底BC的长吗？

（3）利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路：

三、评价

1.学生自我评价：在这节课的学习中你有哪些收获？掌握了哪些解题技巧和方法？

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：点评学生学习的主动性、小组交流协作情况、解题方法的掌握情况等. （2）纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）. 本课时应先认知“方向角”“坡度”及其所代表的实际意义，添作适当的辅助线，构建直角三角形.然后结合解直角三角形的有关知识加以解答，层层展开，步步深入.

评价作业

一、基础巩固（70分）

1.(10分)已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（D）

A.南偏东50°

D.北偏东40°

2.(10分)如图，某村准备在坡度为i=1∶1.5的斜坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为5 m，则这两棵树在坡面上的距离AB为根号）

3.（10分）在菱形ABCD中，AB=13，锐角B的正弦值sinB=菱形的面积为

65 . 4.(20分)为方便行人横过马路，打算修建一座高5 m的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为1∶1.5，计算斜坡AB的长度(结果取整数).

解：∵i=513m．（结果保留3B.南偏东40°

C.北偏东50°

5，则这个13AC1,AC=5,∴BC=1.5×5=7.5. BC1.5∴AB=AC2BC281.25≈9(m). 5.(20分)一轮船原在A处，它的北偏东45°方向上有一灯塔P，轮船沿着北偏西30°方向航行4 h到达B处，这时灯塔P正好在轮船的正东方向上.已知轮船的航速为25 n mile/h，求轮船在B处时与灯塔的距离（结果可保留根号）. 解：过点A作AC⊥BP于点C.由题意知：∠BAC=30°,∠CAP=45°, AB=25×4=100.

在Rt△ABC中，BC=13AB=50，AC=AB=503. 22在Rt△ACP中，CP=AC=503. ∴BP=BC+CP=50(3+1)(n mile). 二、综合应用（20分）

6.(20分)某型号飞机的机翼形状如图所示.根据图中数据计算AC,BD和AB的长度（结果保留小数点后两位）.

解：如图所示，在Rt△BDE中，BE=5.00，∠DBE=30°, ∴DE=BE·tan30°=5BE103,BD=3≈5.77(m). 3cos3034°, 5在Rt△ACF中，CF=BE=5.00,∠FCA=∴AF=CF=5.00,∴AC=2CF=52≈7.07(m). ∴AB=BF-AF=DE+CD-AF=三、拓展延伸（10分）

7.(10分)海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为162 n mile的圆形海域内有暗礁，一艘船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上,且A，P之间的距离为32 n mile.若轮船继续向正东方向航行,轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.若有危险,轮船自A处开始至少沿东偏南多少度的方向航行,才能安全通过这一海域?

解：如图，∠PAB=30°,AP=32.∴PB=53+3.40-5.00≈1.29(m). 31AP=16(n mile). 2∴PB＜162n mile.∴轮船有触礁危险. 假设轮船沿东偏南α恰好能安全通过，此时航线AC与⊙P相切，即PC⊥AC. 又∵AP=32，PC=162,∴∠PAC=45°,∴α=15°. ∴轮船自A处开始至少沿东偏南15度方向航行,才能安全通过这一海域.