3.1.2 复数的几何意义教学创新设计

复数的几何意义

教学目标

知识与能力

通过学***面上点的轨迹,使学生进一步掌握复数及复数的几何意义. 掌握复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化. 过程与方法

通过问题导引，探究学习，提高学生数学探究能力，提高数形结合能力. 提高知识之间的理解与综合运用能力. 情感态度与价值观

通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学，对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育. 教学重点

对复数几何意义的理解以及复数的向量表示. 教学难点

由于理解复数是一对有序实数不习惯，对于复数几何意义理解有一定困难；对于复数向量表示的掌握有一定困难.

教学方法

启发引导式

教学过程

一、问题情景

问题1：对于复数a+bi和c+di(a,b,c,d ∈R)，你认为满足什么条件时，这两个复数相等？

（a=c且b=d，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等。）

问题2：若把a,b看成有序实数对（a,b），则（a,b）与复数a+bi是怎样的对应关系？有序实数对（a,b）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？（一一对应关系）

实数可以用数轴上的点来表示

实数 一一对应 实数轴上的点

（几何模型）

数

形

问题3：类比实数的性质，你能否找到用来表示复数的几何模型？还能得出复数其他的一些性质吗？

（学生猜测，讨论，形成一些共识）

二、建构数学

1、复平面的概念

把建立的直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示虚数。

y bZ=a+bi Z(a,b) y

3

2 C

B

Z(a,b) 

oaxA



-2

1

2

3 x

2、复数的几何意义

复数a+bi，即点Z（a,b）（复数的几何形式）、即向量OZ（复数的向量形式。以O为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数。）

三者的关系如下：

复数

zabi

复平面

平面向量

内的点

OZ

Z（a,b）

问题4：实数可以比较大小，任意两个复数可以比较大小吗？认为可以者，请拿出进行比较的方法；认为不可以者，请说明理由。

（学生讨论，回答，纠正错误，形成共识）

3、复数的模（或绝对值）

向量OZ的模叫做复数Z=a+bi的模（或绝对值），记作Z或abi。如果b=0，那么Z=a+bi就是实数a，它的模等于a（即实数a的绝对值）。

Z=abi=a2b2

[巩固练习] （1）、已知复数Z1=3+4i，Z2=-1+5i，试比较它们模的大小。

（2）、若复数Z=3a-4ai(a<0)，则其模长为 。

三

、例题讲解

例1

找出与下列复数对应的点的位置,且在复平面内画出这些复数对应的向量：

（1）i;

（2）2-2i;

（3）(2+i) ×i;

（4）i-1.

例2

已知某个平行四边形的三个顶点所对应的复数分别为2，4+2i，-2+4i，求第四个顶点

对应的复数. 例3

求下列复数的模：

(1)z1=-5i

(2)z2=-3+4i

(3)z3=5-5i 四、

随堂练习

1. 复数z=-5-3i在复平面内的点的坐标是

. 2. 复数z=4-3i的模是（

）. (1)下列命题中的假命题是（

）

(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上

(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上

(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数

(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数

(2)“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的（

）

（A）必要不充分条件

（B）充分不必要条件

（C）充要条件

（D）不充分不必要条件

3.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围.

五、课堂小结

1. 复数的实质是一对有序实数对；

2. 用平面直角坐标系表示复平面，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴；

3. 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；

4. 复数z=a+bi用点Z(a,b)表示.复平面内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a, bi)；

5. 复数的两个几何意义：

（1）复数zabi复平面内的点Z(a,b) （2）复数zabi平面向量OZ

6. 复平面内任意一点

Z(a,b)可以与以原点为起点，点

Z(a,b) 为终点的向量OZ对应；

7. 复数的模通过向量的模来定义；

六、课后作业和课后反思

作业：习题3.1 4. 5. 6 一一对应一一对应