二 用数学归纳法证明不等式优秀课堂实录

§2.3.1

数学归纳法（第一课时）

【教材分析】数学归纳法是以解决与正整数有关问题的一种推理方法，它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是证明与正整数有关问题的有力工具，本节课是数学归纳法第一课时，主要是让学生了解数学归纳法原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的实际应用问题。

【学情分析】学生在学习本节之前已经学习过归纳推理，以及一些简单的数学证明方法，并且已经开始使用与正整数有关的结论（在求曲边梯形面积中），但学生只是停留在认知阶段，对问题本质没有作更进一步的研究。另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习数学归纳法奠定了一定的基础。

【教学目标】

１、知识与技能目标：

（1）了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题；

（2）进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。

2、过程与方法目标：

（1）通过对例题的探究，体会由猜想到证明的数学方法；

（2）努力创设积极思考、大胆质疑的课堂愉悦情境，提高学习兴趣和课堂效率。

3、情感态度与价值观目标：

通过对数学归纳法的学习，进一步感受数学来源于生活，并形成严谨的科学

态度和勤于思考、善于观察的学习习惯。

【教学重点】数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握。

【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解。

【教法准备】讲授法，引导发现法，合作探究法。

【教具准备】传统板书与多媒体辅助教学相结合。

【教学过程】

一、创设情境，引出课题

1、复习旧知，铺垫新知：

（1）不完全归纳法：

今天早上，我曾疑惑，怎么贵中（贵池中学）只招男生吗？因为清晨我在学校门口看到第一个进校园的是男同学，第二个进校园的也是男同学，第三个进校园的还是男同学。于是我得出结论：学校里全部都是男同学，同学们说我的结论对吗？（这显然是一个错误的结论，说明不完全归纳的结论是不可靠的，进而引出第二个问题）

（2）完全归纳法：

同学们，我这里有一个火柴盒，里面共有五根火柴，我抽出一根是红色的，抽出第二根也是红色的，请问我怎样验证五根火柴都是红色的呢？（将火柴盒打开，取出剩下的火柴，逐一进行验证。）

注：对于以上二例的结果是非常明显的，教学中主要用以上二题引出数学归纳法。

师：①（出示投影）不完全归纳法→结论不可靠；

完全归纳法→结论可靠。

②以上问题都是与正整数有关的问题，从上例可以看出，要想正确的解决一个与此有关的问题，就可靠性而言，应该选用第几种方法？（完全归纳法）

2、问题情境，方法引入：

1222情境一：23523472459122321223242；；；666

12223242525611；……

6问：①请同学们观察以上等式，可以猜想出什么结论？（122232…+n2n(n1)(2n1)）

6②对于以上问题，你能完成证明吗？

注：①对于第一个问题，由于学生在学习求曲边梯形面积时已经用过，再结合归纳推理，学生很容易得出结论；

②第二个问题，学生利用现有知识，无法完成证明。（可以让学生尝试运用完全归纳法，并点题。）

师：①利用完全归纳法得出的结论是可靠的，但对于解决与正整数有关的问题却无法完成，不完全归纳法虽然步骤有限，但结论不一定可靠，那么我们能不能找出一种方法，既能使步骤有限又能使结论可靠呢？同学们想不想知道这种方法？（追问引出课题：数学归纳法）

②其实这种方法来源于生活，请同学们看多米诺骨牌的视频？

情境二：（播放多米诺骨牌视频）

问：怎样才能让多米诺骨牌全部倒下？

二、师生合作，探究新知：

探究一：让所有的多米诺骨牌全部倒下，必须具备什么条件？

条件一：第一张骨牌倒下；

条件二：任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下。

注：此问题由学生合作交流完成，必要时，教师重新播发视频或给予提示。

探究二：同学们在看完多米诺骨牌视频后，是否对证明122232…+n2n(n1)(2n1)有些启发？（证明本题对任意正整数都成立6相当于验证让骨牌全部倒下的条件）

注：通过以上合作交流，以及使骨牌全部倒下的两个条件，此时，师生共同

探究得到解决引例的方法：

（1）第一块骨牌倒下相当于证明当n1时，命题成立；

（2）对于任一块骨牌倒下相邻的后一块也倒下，相当于当nk(k1,kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立。

师：（投影）证明122232…+n2（1）证明当n1时，命题成立；

（2）假设当nk(k1,kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立。

探究三：第一块骨牌不倒行不行？假如从第二块、第三块骨牌开始将骨牌推倒，结果会是怎样？（第一块骨牌必须倒，才能让所有的骨牌倒下。如果从第二块或第三块开始倒，则只能让该块骨牌后面的全部倒下。）

注：此问题说明第一块骨牌倒下对全部骨牌倒下的重要性，同时也说明在证明与正整数有关问题时，n0是使命题成立的最小正整数，n0不一定取1，也可以取其它正整数。

师：（板书）

“数学归纳法”

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；

（2）（归纳递推）假设nk(kn0,kN*)时命题成立，证明当nk1时，命题也成立。

只要完成以上两个步骤，就可以判定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。

上述方法叫做数学归纳法。

三、错例辨析，突出重点：

1、求证：所有的奇数都是2的倍数。

证明：假设第m个奇数为k，且k为2的倍数，则第m+1个奇数为k + 2，n(n1)(2n1)的两个步骤：

6

而k+2也是2的倍数，所以命题成立。

2、用数学归纳法证明：135…+(2n-1)=n2

证明：（1）当n1时，左边1，右边121，等式成立；

（2）假设当nk（k≥1,kN*）时，135…+(2k-1)=k2，那么：

135…+(2k-1)+(2k+1)=时也成立。

[12(k1)1](k1)(k1)2，则当nk12根据（1）和（2），可知等式对任何nN*都成立。

注：①对例1，师先让学生讨论一下数学归纳法中没有第一步行不行，进而说出这个例子，让学生理解当nn0时，命题成立的重要性，没有第一步，就如同空中阁楼，是不可靠的。另外在例1中，让学生明白假设是错误的，此处并不是把假设当作条件来用，数学归纳法的第二步其实是一个条件命题，第一步已经验证是正确的，如果有怀疑，第二步中k可以取n0，这其实是在证明一个传递性。

②对例2，师首先说明在利用数学归纳法证题时，当nk1时的证明必须利用nk的归纳假设，并用课本上的思考题举例：即猜想证明an得到ak11,在n11时必须要利用ak这一步。然后请学生观察例2并从中找出错kk1误（第二步中的错误是没有利用n=k的假设进行证明，而直接利用了等差数列求和公式），以增强学生对第二步的理解。

③对于例2的证明，作为学生课后练习完成。

四、典例分析：

n(n1)(2n1)(nN*)

61(11)(211)1，师：（板书）证明：（1）当n1时，左边121，右边6例1：用数学归纳法证明122232…+n2等式成立；

（2）假设当当nk(k1,kN*)时，等式成立，即：

122232…+k2k(k1)(2k1)，那么：

6122232…+k2(k1)2k(k1)(2k1)(k1)26

(k1)(2k27k6)6(k1)(k2)(2k3)6(k1)[(k1)1][2(k1)1]6即：当nk1时，等式成立。

根据（1）和（2），可知等式对任何nN*都成立。

注：上例让学生独立完成，师板书写现完整过程，以突出数学归纳法证题的一般步骤。

五、反馈练习，加深理解：

用数学归纳法证明：135…+(2n-1)=n2

六、归纳小结，概念提升：

问：今天我们学习了一种很重要的数学证明方法，通过本节课的学习，你有哪些收获？（学生总结，教师整理）

1、数学来源于生活，生活中有许多形如“数学归纳法”这样的方法等着我们去发现。

2、数学归纳法中蕴含着一种很重要的数学思想：递推思想；

3、数学归纳法一般步骤：

验证nn0时命题成立

若nk(kn0,kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立

归纳奠基

归纳递推



命题对从n0开始所有的正整数n都成立

4、应用数学归纳法要注意以下几点：

（1）第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的；

（2）第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能是不完全归纳法；

（3）n0是使命题成立的最小正整数，n0不一定取1，也可取其它一些正整数；

（4）第二步的证明必须利用归纳假设，否则不能称作数学归纳法。

七、布置作业：

1、书面作业：P96习题2.3Ａ组，第1题（1）（3）；

2、思考：习题2、3，A组第1题其它证明方法。

注：第1题书面作业帮助学生巩固数学归纳法，第2题可以利用数列求和，让学生比较两种方法，说明数学归纳法并不是解决与正整数有关问题的唯一方法，同时也提醒学生利用数学归纳法证明的第二步不能用数列求和公式。

【板书设计】

2.3.1

数学归纳法（一）

例1：……

学生板演

§数学归纳法：

证明：……

……

1. ……

……

2. ……

…………

【教后反思】