三 反证法与放缩法优秀教案板书设计

第二讲

证明不等式的基本方法

2.3反证法与放缩法

一、教学目标

（一）核心素养

通过反证法与放缩法的学习，体会数学证明的基本思想及逻辑思路。

（二）学习目标

1.通过实例，体会反证法的含义，过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题；

2.感受在什么情况下需要用放缩法证明不等式，探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。

（三）学习重点

体会反证法证明简单命题，体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”

二、教学设计

1.预习任务

（1）读一读：阅读教材第25-29页，思考：什么是反证法？什么是放缩法？

（2）想一想：使用两种方法时的步骤和注意事项有哪些？

2.预习成果

知识提炼

(1)反证法的定义．

先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．

(2)利用反证法证明不等式，一般有下面三个步骤：

第一步，做出与所证不等式相反的假设(反设)．

第二步，从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果(归谬)．

第三步，断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假设不正确，于是原证不等式成立．

2．放缩法

把要证的不等式一边适当地放大(或缩小)，使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法．

常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：

113a＋＋＞a＋；

舍去或加上一些项：2421111121将分子或分母放大(或缩小)：2＜，2＞，＜，＞kk（k－1）kk（k＋1）kkk＋k－122

2k＋k＋1(k∈R，k＞1)等．

思考尝试：

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．

(1)反证法可以把“假设”写成“设”．(

) (2)当结论的反面有多种可能时，只需列出其中一种情况证明．(

) (3)利用放缩法证明不等式的关键在于放大(或缩小)要适当．(

) (4)放缩法放大、缩小的限度是唯一的．(

) 解析：由反证法和放缩法易知(1)，(2)，(4)错误．

答案：(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

2．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用(

) ①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．

A．①②

C．①②③

B．①②④

D．②③

解析：由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．

答案：C 3．若|a－c|＜h，|b－c|＜h，则下列不等式一定成立的是(

) A．|a－b|＜2h

C．|a－b|＜h

B．|a－b|＞2h

D．|a－b|＞h

解析：|a－b|＝|(a－c)－(b－c)|≤|a－c|＋|b－c|＜2h.

答案：A 4．用反证法证明“2，3，5不可能成等差数列”时，正确的假设是________．

答案：2，3，5成等差数列

5．A＝1＋解析：A＝111＋＋…＋与n(n∈N＋)的大小关系是______________________．

n23n1111＋＋＋…＋≥n项＝＝n. nn123答案：A≥n

例题讲解：

类型1

反证法证明不等式(自主研析) [典例1]

已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．

证明：假设a，b，c，d都是非负数，

即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，

则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd，

这与已知的ac＋bd＞1矛盾，

所以假设不成立，

所以a，b，c，d中至少有一个是负数．

归纳升华

1．当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存在”等词语时，适合应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．

2．用反证法证明不等式时，若原命题结论的否定不止一个，就必须将结论的所有否定逐一驳倒．

3．当遇到命题的结论以“至多”“至少”等形式给出时，一般多用反证法；应注意“至少有一个”“都是”的否定形式分别是“一个也没有”“不都是”．

[变式训练]

已知△ABC的三边长a，b，c的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°. 证明：假设∠B＜90°不成立，即∠B≥90°，则∠B是三角形的最大内角，在三角形中，有大角对大边，

所以b＞a＞0，b＞c＞0，

1111211所以＜，＜，所以＜＋，

babcbac211211因为a，b，c的倒数成等差数列，所以＝＋.这与＜＋相矛盾．

bacbac所以假设不成立，故∠B＜90°成立．

类型2

用放缩法证明不等式

1113[典例2]

已知an＝2n2，n∈N*，求证：对一切正整数n，有＋＋…＋＜. an2a1a2证明：因为当n≥2时，an＝2n2＞2n(n－1)，

11111111所以＝2＜＝·＝n－1－n，an2n2n（n－1）2n（n－1）2111所以＋＋…＋

ana1a21111

＜1＋1×2＋2×3＋…＋n（n－1）

2111111

＝1＋1－2＋2－3＋

…＋n－1－n

2111－

＝1＋2n31＝－

22n3

＜，

2

1113故＋＋…＋＜. an2a1a2归纳升华

1．利用放缩法证明不等式，要根据不等式的传递性及已知条件(条件不等式)，慎重地采取措施进行放缩．

2．放缩法的技巧性较强，放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，不可放缩过大或过小，否则，会出现错误结论，达不到预期目的．谨慎地添或减是放缩法的基本策略，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者利用基本不等式，从而达到证明不等式的目的．

[变式训练]

(1)已知x＞0，y＞0，z＞0，求证：x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＞x＋y＋z；

1111(2)求证：＜＋＋…＋＜1(n＞1，n∈N*)．

2n＋1n＋22n证明：(1)因为x＞0，y＞0，z＞0，

所以x2＋xy＋y2＝

x＋y＋3y2＞x＋y，①

2422y同理，y2＋yz＋z2＞z＋.②

2因为由①＋②得

x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＞x＋y＋z，

所以原不等式成立．

(2)证明：因为n＞1，n∈N＋，

所以111111＋＋…＋＜＋＋…＋＝1，

n2nnnn＋1n＋21111111＋＋…＋＞＋＋…＋＝，

2n2n2n2n2n＋1n＋2所以原不等式成立．

课堂小结：

1．用反证法证明不等式要把握三点：

(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完整的．

(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证．否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．

(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背，等等，推导出的矛盾必须是明显的．

2．(1)放缩法的关键在于放大(或缩小)要适度．

(2)当要证明的不等式中含有分式时，我们把分母放大，则相应的分式的值缩小；反之，如果把分母缩小，则分式的值放大．

(3)放缩法放大缩小的限度不是唯一的，如果用某种放大的办法可以得到欲证结论，那么比此放大更“精细”的放大就应该更能得到所需结论．但是一般来讲，这种“风险”和“难度”是成正比的，放得越宽，能否证出命题的“风险”越大，但相对放大的“难度”就越低；反之，放大越精细，则能证出最终结论的可能性越大，但是“难度”也相对增大．